基础内容：《鸡兔同笼》课堂实录及评析

●教学内容

数学广角——鸡兔同笼（人教版教材四年级下册）。

●教学前端分析

1.教材特点

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。关于这一古老趣题的教育价值，赵雄辉先生在《湖南教育》C版2014年第1期“漫话数学课程的教育价值”一文中说道：“数学的价值不仅在于解决当前的实际问题，还体现在训练人的心智方面，它的思维训练价值，不能机械地理解数学与实际的联系。鸡兔同笼问题的生命力在于数量关系上的趣味性，是训练思维的好素材，不是真的解决实际问题。不然的话，难道你从‘头’到‘脚’数了个遍，还不知鸡与兔分别有多少吗？你不认识鸡吗？”

“鸡兔同笼”问题的通常解法有：画图法、列表法、推算法、方程法。由于本单元还没有学习到方程法。因此，教材主要引导学生通过猜测、列表和推算等方法来逐步解决问题，从而渗透建模思想，培养学生的推理能力。

所谓的推算法其实就是假设法，之所以改称“推算法”是因为画图、列表的起点都是假设。无论是先画鸡再追加脚，还是先画兔再减少脚，都是直观的假设。同样，采用列表法，无论是从鸡为0还是从兔为0开始，也是先假设全是一种动物。列表与推算法的区别在于，它是一次次逐步调整。画图和列表都是假设的不同表征，推算法则是对画图、列表的抽象和数学化[26]。

学生有了画图、列表的经历，形成了“假设—比较—调整”的探究思路，推算就有了支撑，理解推算的过程与算理就不会那么困难。

配合例题，课本在“做一做”和练习中安排了一些类似的问题，比如“龟鹤”问题，购物、租船等，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固列表法、推算法等解题策略。

2.学情特点

大部分学生看到鸡兔同笼问题，马上想到的是用推算法来解，少数超前学习的学生会用方程法，很少有学生主动用列表探索法。

有的学生虽然用推算法得出了一个答案，但只是机械套用推算法思路列式计算，分不清求出的是鸡的只数还是兔的只数，说明对推算法没有真正理解。做完后也不会去验证与实际脚的只数是否相符，说明“检验”环节在之前的教学中没有受到应有的重视。

3.设计意图

（1）“鸡兔同笼”问题的“模型”是什么？

“鸡兔同笼”问题中的“模型”因素至少有三方面是值得关注的：一是数量关系层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（已知两个未知量的两个线性关系，求未知量）。这恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。二是问题解决思路层面的，即“假设法”的一般解题思路（假设—比较—调整）。三是推广应用层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行迁移运用。

（2）怎样建构？

首先，通过引入环节的口答，让学生熟悉头数之和、脚数之和的关系式，这也是后面验算的基础。然后通过“鸡兔”“龟鹤”“租船”等不同变式的呈现，使学生初步感知虽然问题的情境在变化，但问题的本质——数量关系即数学模型是不变的。

其次，通过各种解题方法的交流，归纳出“假设—比较—调整”的解题思路。

最后，通过各种情境变式，在练习巩固的同时，加深对数量关系、对解题思路的理解。

●教学目标

1.了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。

2.经历自主探究解决问题的过程，体验解决问题策略的多样化。

3.了解画图、列表、推算这三种假设法解决问题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力，渗透数学模型的思想，增强应用意识和实践能力。

●教学重点

鼓励学生尝试用不同的方法解答，交流解决问题的思考过程。

●教学难点

1.选鸡还是选兔作为首先考虑的对象。

2.从哪个数开始试验。

●教学过程[27]

（一）引入

1.口答

师：有23只鸡，12只兔，一共有多少头？多少脚？

生：23+12=35（个），一共有35个头。

生：23×2+12×4=46+48=94（只），一共有94只脚。

师：题目中只有12和23，2和4是什么？从哪里来的？

生：2是指鸡有2条腿，4是指兔有4条腿。

师：鸡有2条腿，兔有4条腿，这是常识，所以题目中不再特别说明。

师：谢谢你，提醒了大家这儿还隐藏了两条信息。

2.改编

师：一年级的时候我们就学过编应用题，你们能不能把“35个头，94条腿”作为已知条件，改编成求鸡兔各几只的问题？

生：鸡和兔一共有35个头，94条腿，鸡和兔各几只？

【意图说明】

课的一开始呈现的口答题，相当于“鸡兔同笼”的原始题，学生只需正向思维计算，然后将条件和问题互换，改变成古算题，拉近了它与学生的距离。这一设计也为学生后续填表和验算做了铺垫。

师：知道你们改编的这道题最初出自哪本书吗？不知道的看书找答案。

生看教材中的103页。

生：我知道了，是《孙子算经》中的一道数学趣题。

3.思考

师：请同学们继续看教材中的104页，一起来思考两个问题。

课件出示：

（1）为什么例1要把数据换掉？

（2）“鸡兔同笼”有实际意义吗？

生：数据小一点算起来方便一点。

师：这就是我们常说的“化繁为简”。

生：我觉得“鸡兔同笼”没有什么实际意义，大概不大会把鸡和兔放在一起养的吧。

师：这位同学认为，没有实际意义，只是为了编出有趣的题目。

4.变换情境

师：既然大家都认为鸡兔不会关在一个笼里，就是盲人也能摸出有几只鸡、几只兔。那么能不能保留例1的数据，换成有实际意义的内容呢？

生：公园里有一些大象和人，一共有20个头，48条腿。大象有几头？人有几个？

生：马路上共有7辆汽车和三轮车，一共有26个轮子。三轮车和汽车各几辆？

师：都编得不错，能抓住鸡兔同笼的特点，还结合了生活中的现象。老师也改编了一题。

课件出示：

有8张乒乓球桌，共26人在单打、双打。各有几张乒乓球桌在单打、双打？

师：在这个情境中，鸡变成了什么？兔呢？答案呢？

生：鸡变成了单打的，兔变成了双打的。结果应该一样的，只是单位变了。

师：老师还编了一题。

课件出示：

张叔叔有2分、5分硬币共9枚，共33分。2分、5分硬币各有多少枚？

师：再请你说说，什么相当于鸡？什么相当于兔？

生：2分的相当于鸡，5分的相当于兔。答案一样，单位不同。

师：2分，相当于2条腿的鸡，5分呢？

生：相当于5条腿的兔。

生：答案应该不一样的，鸡和兔的脚数是2和4，这里的币值是2和5。求的方法是一样的。

（二） 独立尝试、全班交流

1.独立尝试（每人一张导学案）

师：下面就让我们每个人来试一试。谁来读一读导学单上的要求。

生：选择你喜欢的题目，选择你喜欢的方法。

【意图说明】

之所以其中有一题是讨论硬币的枚数，是因为，在求鸡兔脚数差时，这个差2和鸡脚数2学生会混淆。而用2分和5分的硬币，它们的差是3，可以回避这个问题。

2.交流

（1）由“画图”引出“推算”。

①呈现假设。

先交流第1题（即例1），根据巡视掌握的情况，请采用画图方法并且先画全是鸡的学生在黑板上画，画出8只鸡时停下。

师：这位同学画的是什么意思？

生：她是假设全是鸡。（板书：假设）

②引导比较。

师：假设全是鸡，共多少条腿？

生：一共16条腿。（板书：2×8）

师：与已知条件26条比较一下（板书：比较），说说你发现了什么？

生：腿的数量还不够。

师：差了多少？

生：差了10条。（板书：26-2×8=10）

③启发调整。

师：少了10条，是谁的腿？

生：少的是兔子的腿。

师：所以要把一部分鸡换成……

生（齐）：兔。（板书：调整）

师：一只鸡换成一只兔，添几条腿？

生：2条。（板书：4-2）

师：要添10条腿，一共要把几只鸡换成兔？

生：5只。（板书：10÷（4-2）=5）

师：得到的5只是鸡还是兔？为什么？

生：是兔。因为一开始假设的都是鸡，腿不够，所以就把鸡换成兔，这个5就是有5只鸡要换成兔的，也就是有5只兔。剩下没有换的3只还是鸡。

师：请你把图画完，看看我们得到的结果和你画的是不是一样的。

师：从这位同学的画图过程可以看出，假设全是鸡，就先求兔。

师：结果对不对呢？一起来验算。

生（齐）：3+5=8（只），3×2+5×4=26（条）。

师：检验结果证明我们的画图和推算是成功的。

师：请刚才没有选择第2题推算的同学用这样的方法试一试，已经选择的，检验一下自己的推算是否正确。

学生练习。

全班汇报。

师：谁来说说你是怎么想的？

生：每张桌子单打有2人，双打有4人。假如全是双打，8张桌子有4×8=32（人），比实际的26人多了6人，32-26=6。 每张双打桌比单打桌多2人，多6人，就要有3桌双打改单打。6÷（4-2）=3这是单打的桌数。8-3=5是双打的桌数。我检验过是正确的。

生：我的想法跟他差不多，就是先假设都是单打，我的算式是26-2×8=10（人），10÷（4-2）=5（张），这是双打的桌数。8-5=3就是单打的桌数。我也检验过的。

师：也许有同学还不太明白，就让画图的同学来帮助一下吧。

师：像这样，把画图法中“假设—比较—调整”的过程写下来就是推算法。我们一下子学会了两种方法。

（2）小组交流第3题。

①作品展示。

师：第三题中有没有同学画图假设全是5分的？请你把练习纸拿上来展示一下。

师：你们能看懂他画的意思吗？想一想，他接下去是怎么比较的？怎么调整的？想好后在小组内互相说一说。

②小组交流。

③全班交流。

生：我们小组认为他是这么思考的。先把这些硬币全部假设成5分，所以在圈里全部写上了5，这样9个硬币一共45分，比33分多了12分。他再想，一个5分比一个2分多了3分，4个3是12。所以他又把4个5划去写上2。

师：他们说的跟你想的一样吗？

生：一样的。

生：我是把它们全部假设成2分的，一共9个硬币，2×9=18（分）。比33分少了15分，也就是要把一些2分的换成5分的，每换一个增加3分，15里有5个3，就是有5个2分要换成5分。结果就是5个5分，4个2分。

④验算结果。(www.zuozong.com)

师：有了结果，我们还需要……

生（齐）：验算。

师：谁来说说？

生：结果 是5个5分，4个2分，一 共9个，符 合 条 件。5×5+4×2=33（分），也符合题意。所以，这个结果是对的。

【意图说明】

在教学“鸡兔同笼”时，常常遇到的情况是学生最先想到的是列式计算，而较少想到用画图的方法来帮助解答。实践表明，由画图导出推算，同时借助直观说明推算过程中每一步的意思，不同层次的学生都能理解，是公认的讲解推算过程的一个好办法，而且这种方法也是一种常用的解决问题的策略。

（3）列表法。

①呈现学生的表格，交流列表枚举的过程。

师：老师看到有同学喜欢用列表的方法。

②沟通联系。

师：看看这两张表，有哪些相同点？有哪些不同点？

生：他们把所有情况都列出来了。

师：一共几种情况？

生：因为鸡和兔一共8只，所以鸡或兔的只数可能从0～8，一共9种情况。

生：他们都是根据鸡和兔一共8只来假设的。

师：就是说，鸡和兔的总数一直是8，但是腿的总条数在发生变化。

师：不同点呢？

生：他们一个是从0只兔开始假设。

师：也就是假设全是鸡。

生：另一个假设全是兔。

师：列第一张表格的同学，一开始算出来总腿数是16条，比实际少了，你怎么调整？

生：我就增加兔子的只数，减少鸡的只数。

师：每调整一次腿的总数会怎么变化？

生：每增加一只兔子，腿的总数会增加2；相反，每增加1只鸡，减少1只兔子的话，腿的总数会减少2。

师：刚才同学说，他们把所有情况都列出来了，那么有同学没有全部列出的吗？说说为什么可以这样？

生：我是假设全是兔的，算到腿的总条数是26就停了。因为接下去兔少一只，鸡增加一只，就少2条腿，再往下还要减少2条。不可能再出现26了。

生：我想的和他差不多，但是为了证明自己的推测，所以就多算了一个，证明自己想的是对的，所以后面就不算下去了。

师：说得真好，不仅会思考，还很会表达。

师：我还听到有同学说，他们都是根据鸡和兔一共有8只来假设的，难道还有其他方法？

生：我是假设一共26条腿，然后用鸡和兔的只数来凑，一共有7种情况。只有一种是符合条件的，就是3只鸡，5只兔。

师：看看这里面有没有规律。

生：有的，减少1只兔，增加2只鸡。

师：说说怎么会有这样的规律？

生：因为增加一只兔，也就是在兔子这里增加了4条腿，为了保证总腿数不变，就一定要减少4条鸡腿，2只鸡有4条腿，所以是减少2只鸡。

师：说得真好，我们在列表的时候，找到了这样的规律后，就不必每一个都去凑腿数，而可以通过推算直接写出鸡和兔的只数。

【意图说明】

用足够的时间让学生自主探索用列表法解决问题。在教师的追问中学生能够很好地沟通出列表与推算的联系，使得列表成为理解“推算法”的拐杖，学生弄清楚来龙去脉后，一定不会出现假设谁不知道算出的是谁的尴尬情况了。这样的课堂学习就不仅仅是寻求“鸡兔同笼”问题的结果，也变成训练学生思维的体操，列表枚举就变成了学生分析解决问题的工具，成了发展学生思维能力的载体。

③小结。

师：在今天的学习中，同学们不论是用画图法，还是列表法，都经过了“假设—比较—调整”的过程，列表是一次一次逐步调整，推算是通过计算一次性调整。

（三）练习

用自己喜欢的方法求解。

1.有龟和鹤共40只，龟的脚和鹤的脚共有112只。龟、鹤各有几只？

2.新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人？

【意图说明】

这一环节中教师出示变式的问题，让学生去理解，去感受生活中的“鸡兔同笼”问题，对“鸡兔同笼”问题做了进一步的提炼。不但使学生逐渐深化对数学模型的理解、把握与构建，也使学生自然地养成从不同的问题情境中找出同一结构关系的数量关系模型的思维习惯和数学观念，从而也就有可能使学生日后在面对不熟悉的问题情境时，进行“模型化”的处理。这样的拓展无疑是进一步抽象的过程，是对模型进一步深刻理解的过程，也是进一步数学化的过程。

学生汇报。

师：我看了一圈第1题好像没有同学用画图的方法，为什么？

生：太多了，画起来很麻烦。

师：数据是有点大，但我还是看到有同学用了列表法，我们一起来看看，猜猜他们是怎么想的？

方法一：

生：他做了第一次假设后，发现离目标很远，所以就跳着假设。

师：说说你当时是怎么想的？

生：我先假设龟0鹤40，得脚数80，离112很远，所以就直接跳到了龟10鹤30，得脚数100。100还不到112，所以又跳到龟20鹤20，得脚数120，太多了。只能一个一个枚举退回来。这样就很容易找到正确答案了。

师：这样的列表法有一个名称，你们猜猜。

生：跳着列表。

生：间隔列表。

师：叫“跳跃列表法”。

师：再来看看第二张表，说说他又是怎么想的？

方法二：

生：他是先假设一人一半，也就是龟20鹤20，结果发现脚太多了，超过112了，然后就往下调，减少龟的只数，增加鹤的只数。

师：这样的方法也有一个名称，想知道吗？

生（齐）：想。

生：减半法。

师：这叫“折中列表法”。

师：当我们遇到数据比较大的时候，就可以用这两位同学的方法来列表。

【意图说明】

之所以将“跳跃列表”和“折中列表”放在这一环节，是因为例题的数据较小，学生一般都会完整列表，在表中写出所有情况。而练习中的数据较大，在表中无法全部呈现假设情况，学生就会想到要用其他办法来解决问题，于是“跳跃列表”和“折中列表”就自然产生了。

师：第2题谁来说说这些已知条件相当于鸡兔同笼中的什么？

生：一共12人，相当于总头数；一共栽了32棵树，相当于总脚数。

生：男生每人栽了3棵树，相当于3条腿的“兔”；女生每人栽了2棵树，相当于2条腿的“鸡”。

师：不错，我们得到的结果是——

生（齐）：8个男生，4个女生。

（四） 方法对比，感悟假设

师：解决“鸡兔同笼”的问题我们都用了哪些方法？

生：画图法、列表法、推算法。

师：这些解法各有各的特点，但是它们有共同的地方吗？

生：都先进行“假设”。

生：都有“假设”的意思。

师：你们看得很准，一下就发现了它们之间的本质联系。在数学上，假设是一种重要的思想方法。

师：这三种方法里哪一种是最基本的？

生：是列表法。当其他方法都不会用的时候，列表法能帮助我们解决问题。

（五）动画演示“抬脚法”

师：刚才我们的推算法用了4步才算出来，而古人想到的方法只要两步计算，你们是不是想知道怎样才能只用两步就算出兔子的只数呢？

生（齐）：想。

课件演示“抬脚法”。

饲养员吹第一次哨声，鸡表演“金鸡独立”，兔表演“双腿拱月”，这时鸡和兔着地的脚只留下一半。再吹第二次哨声，鸡和兔再各收起一只脚，鸡一屁股跌坐在地上，兔表演单脚独立。

说说你看懂了什么？学生说，课件演示。

鸡兔共8只，鸡2只脚，兔4只脚，共26只脚。

　　　　　　↓　　　　↓　　　↓÷2

（第一哨）金鸡独立，双腿拱月，剩13只脚。

　　　　　　↓　　　　↓　　　↓-8

（第二哨）鸡趴地， 兔单脚立，剩5只脚。

所以，兔有26÷2-8=5（只）。

【意图说明】

“抬脚法”的动画演示，童趣盎然，学生全神贯注，这在课的结束部分引起了高潮，而这种高潮是由认知冲突引发的，学生没想到古人居然能只用两步就得到结果，求知欲被大大激发。而且动画演示使“脚数和减半，再减去鸡的头数即为兔数”的每一步计算生动、形象地展现在学生的眼前。动态演示让抽象的算式开口说话了。

（六）总结

师：说说这节课你的收获。

生：我知道了画图法、推算法和列表法。

生：我还知道列表法中除了逐一列表法外，还有跳跃列表法和折中列表法。

生：我知道了其实画图法、推算法和列表法都属于假设法。

生：可以假设全是鸡，也可以假设全是兔。

师：我们在导学案上解决的问题除了“鸡兔同笼”问题，还有打乒乓和钱币问题，在练习中出现了“龟鹤”现象和同学种树。那为什么今天的课题是“鸡兔同笼”呢？

生：因为这些不同情境下讨论的问题结构是相同的。虽然它们不全是“鸡兔同笼”问题，但都可以看成是“鸡兔同笼”问题，用这样的方法去解决。

师：不错，我们研究“鸡兔同笼”问题的价值不在于问题本身，而是在于建立一个模型，从而帮助大家掌握解决问题的方法和策略。如果我们在解决数学问题时有了“模型意识”，就能举一反三、触类旁通，就会越来越聪明。

●教学反思

1.渗透数学模型的思想

数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。将现实问题转化成数学模型是对学生解决问题能力的检验，也是数学教育的重要任务之一。

本课一开始的“口答”：有23只鸡，12只兔，一共有多少头？多少脚？实际上就已经引出了“鸡兔同笼”问题的数学模型。

头的总数为23+12=35；脚的总数为23×2+12×4=94。设鸡、兔只数为x、y，头、脚总数为a、b，则x+y=a，2x+4y=b。

其他的同类情境，只是x、y的系数与a、b的取值在发生变化。

2.引导学生探索解决问题的策略与方法

例题教学展示了多种解题方法，并从假设的角度去融会贯通，总结成“假设—比较—调整”的思路。这一思路的一般意义在于：其中的“比较”，包括与假设比较，与实际比较，等等；其中的“调整”，可能是改变实验、修改参数，也可能是修正假设。

3.注重方法间的联系与沟通

以列表法为例，本课中学生采用了逐一列表、跳跃列表和折中列表三个层次的列表方法。这些都是在算的基础上逐步尝试、调整的方法，更符合学生的认知规律和解决问题的习惯。这种回归思维原点、不教也能试的方法，本质就是“逼近”的思想。

●专家点评

数学建模，把来自生活的问题抽象、模型化，用数学的方法解答；再回归到生活，对同类问题用同一模型进行问题解决。在以上的过程中，从生活“原型”中抽象出数学“模型”；把数学“模型”回归于生活“原型”，同时建立数学“模型”与同类多种生活“原型”间的关联，这个相互依存的过程是学生需要经历与感悟的。因为是一个“悟”的过程，因此需要有一种有效的教学设计来促进学生建模思想的体验与生成，顾文老师教授的“鸡兔同笼”，很好地诠释了以上的思考。

1.开放式的引入，为“模型”与“原型”间搭建桥梁

“鸡兔同笼”问题往往会被纳入数学思维训练题库中。而在顾老师的课堂中“鸡兔同笼”问题被作为一个载体，依托这个广为流传的数学趣题进行数学建模思想的体验与感悟。有了以上的思考，因此在课堂的引入部分所呈现的数学“原型”就是开放多样的，既有“鸡兔同笼”“单打双打”，又有“2分5分”等各种情况，通过比较、联系、说理，在为“模型”与“原型”间搭建桥梁的同时，还把同一数学“模型”在生活中所呈现的“原型”间的关联进行了架构。

一个开放式的引入，在细节中考虑了很多，既从学生熟悉的数学趣题入手，使学生有熟悉感；又在数据上进行了变换，避免疑义的产生。细致精到的设计，其背后的思考在于引导学生从多样呈现的生活“原型”中抽象出共同的数学“模型”。在教师大胆、精巧的设计中，原本学生认知上的一个难点，自然而然地被突破了，数学建模的思想在这样的感悟过程中渐渐生成。

2.方法的辨析与说理，促成数学“模型”的解答

数学建模的过程中除了以上所提及的抽象模型、回归生活之外，还有一个环节也是非常重要的，那就是数学模型的解答。要使这样的数学模型解答得以有效达成，需要方法的建立。非常欣赏在顾老师的课堂中，她把“鸡兔同笼”问题的解答方法进行了梳理，并进行了有层次的推进。利用任务单的形式引导学生选用画图法或列表法进行问题解答。因为给了学生一定的探究空间，因此交流环节中的说理、辨析加深了学生对方法的理解。特别在列表法的交流过程中，从一开始的全表罗列，到之后的部分罗列，再到之后的取中间数罗列进行逼近的方法，每一层的交流都是有梯度设计的，而且在课堂中教师倡导方法间的比较、辨析与说理，这样的一种过程，看似比较冗长，但恰恰是这样的一种学习空间的释放，给予了学生更多的辨析思考的余地，为问题的解决带来了真正的可能。

有了以上的教学设计与实施，基于画图法与列表法背后的“假设”的思考被学生所理解，教学目标中所设定的“假设—比较—调整”的解题思路也能被学生所领悟。

虞怡玲

（虞怡玲：上海市特级教师，上海师范大学附属卢湾实验小学校长，上海师范大学特聘教授）