小学数学学科核心素养培育实践：烙饼问题课堂实录评析

●教学内容

数学广角——优化（人教版教材四年级上册）。

●教学前端分析

1.教材特点

“烙饼问题”是人教版小学四年级上册教材第八单元“数学广角——优化”中的教学内容之一。该单元的三个例题“沏茶问题”“烙饼问题”“田忌赛马”由浅入深，层次清晰，符合学生的认知水平和思维水平，有利于学生理解和体会数学优化思想的特点。

优化思想不是凭空产生的，它在小学数学教材中处处可见渗透的痕迹。如计算教学中的算法优化，解决问题教学中的策略优化以及统计教学中的统计方法优化等。在低年级，教材虽然没有将优化思想作为一节课的主要目标，却已经让学生对优化思想有了初步的体验。比如简单的排列，有很多不同的排列方法，但其中有序的排列可以做到不重复、不遗漏，通过比较学生能够初步体验到解决同一个问题有很多方法，但诸多方法有优劣之分，一个好的方法可以帮助我们更有效地解决问题。到了中高年级开始以优化思想作为一节课的主要目标展开教学，在本单元之后，“打电话问题”和“找次品问题”等都是统筹、优化的问题。它们都让学生经历解决问题方案优化的过程，体验到优化思想在解决实际问题中的应用价值，从而真正帮助学生形成优化思想。

教材从现实生活中的烙饼情境入手，出示问题：“每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟，怎样才能尽快吃上饼？”让学生尝试从时间最省的角度，在解决问题的多种方案中寻找最优的方案：“还可以怎样烙？哪种方法比较合理？”初步体会优化思想在解决实际问题中的应用，同时培养学生的应用意识，提高学生解决实际问题的能力。

以上都是比较显见的数学学科核心素养培育点。除此之外，本课内容还蕴含着较为丰富的推理。

2.学情特点

四年级学生处于形象思维到抽象思维的过渡阶段，这部分知识对学生来说是比较抽象、不易理解的，所以在这节课的教学中，应通过动手操作，由直观到抽象，帮助学生理解“怎样烙才最合理”的实践策略，进而通过推理由2张、3张到任意张。

对不同程度的学生可以提出不同的学习要求。接受能力比较强，推理、抽象能力比较强的学生在本课需要达到的目标是能自主动手操作、自主发现烙饼中的数学优化原理，把烙多少张饼转化为烙多少个面来研究，并分析概括，最终统筹优化出最优方案，以感知数学的魅力，体验成功的喜悦。

对学习能力较弱的学生，只需要学会3张饼的优化烙法，并能计算所需要的时间，也能通过动手尝试、迁移，实现对小数量的类似事件的解决；通过教师引导，初步体验合理优化，提高对数学的兴趣。

3.设计意图

（1）将优化思想贯穿本课始终。

如：审题环节，理解优化的要求（“尽快”即时间最省）；探究环节，设计三个比较问题，凸显使锅不空的优化策略；应用环节，展现最快、最省的多种优化表现。

（2）引导学生通过推理发现规律。

选择适当的时机，让学生理解2张、4张、6张不用探究，即偶数张饼总能使锅不空。由此推出：只要研究奇数张。

进而启发学生思考：找到了3张的优化方案，其他奇数还需要研究吗？为什么？

因为5张=3张+2张；

7张=3张+2张+2张；

……

所以奇数张只要研究3张。

这样的推理学生之前很少经历，应成为本课的重点。

（3）怎样启发学生推理？

用比较的方法来推理。烙4张饼、5张饼的时候方法基本都会采用4=2+2、5=2+3的组合，那么6、8、9这些特殊的数呢？学生发现烙6张饼时，既可以2+2+2，也可以3+3，用问题“你更喜欢哪种烙法？为什么？”来激发学生思考，发现在同样的时间下，生活中我们往往更加喜欢同时烙的方法，而较少采用交替的方法，除了要考虑节省时间，还要考虑方法的方便性。于是，学生能推出，偶数张数需要的时间是：张数是2的几倍，就有几个6分钟；奇数张数需要的时间是：一次用3张饼的优化烙法，其他的按照偶数张数的烙法。

●教学目标

1.在经历烙饼的具体过程中学会怎样合理安排操作最省时间，从而体会做任何事情都要进行合理安排。

2.尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最合理的方案，培养学生归纳推理能力，训练思维的严谨性、周密性。

3.感受运筹思想在日常生活中的广泛应用，逐渐养成合理安排的良好习惯。

●教学重点

运用优化的方法解决烙饼等生活问题。

●教学难点

设计烙饼的最合理方案。

●教学准备

课件、教具、学具和学习单。

●教学过程

（一）揭示课题

师：生活中有没有看到过烙饼？今天老师就要和大家一起来研究“烙饼中的数学问题”。（板书课题）

（二）探究规律，自主学习

1.解读例题，掌握烙饼规则

1）出示例题，指导审题

师：谁来读一读图片上说了什么？

生：一个锅每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟。爸爸、妈妈和我每人1张，怎样才能尽快吃上饼？

师：说说里面有哪些条件信息？哪些问题信息？

生：一个锅最多烙2张。一张饼要烙两面，每面花3分钟。

师：最多2张，1张可以吗？

生：可以。

师：2张可以吗？

生：可以。

师：3张呢？

生：不可以。

师：还有什么信息？

生：爸爸、妈妈和我每人1张，就是一共要烙3张。

生：“尽快”就是花的时间最少。

【意图说明】

借助PPT直接呈现主题图，省略了一些过渡性的语言，既节约了宝贵的教学时间，也让学生迅速地把注意力集中到这节课要解决的主要问题上，在与文本对话中，通过对“烙饼信息”中重点词语的分析，明确了本节课要解决的主要问题，为下一步学习做好准备。

2）动画演示，感知烙饼

（1）动画演示烙1张饼。

师：下面我们看看课件演示，了解一下烙饼的基本过程。

播放课件中的动画演示。

师：动画中烙了几张饼？

生：1张。

师：烙了几次？

生：2次。

师：用了几分钟？

生：6分钟。

师：算式怎么列？

生：3+3=6（分）

生：2×3=6（分）

【意图说明】

通过让学生描述烙1张饼的过程，明确每张饼要烙熟的话，两面都要烙，要烙两次，每次要3分钟，一共要6分钟，让学生再次明确“烙饼信息”，为继续探究做好准备。

（2）自主探究烙2张饼。

师：在这个锅里烙2张饼最短需要多少时间？自己动手试试看。交流一下你需要的时间。

生：我用了12分钟。

师：说说你是怎么烙的？

生：（一边演示一边说）我先烙一个用6分钟，再烙一个用6分钟。

师：这么多同学举手是表示你们的烙法和他不同？

生（齐）：是。

师：那你们用了几分钟烙熟这两张饼呢？

生（齐）：6分钟。

师：也是6分钟？

生（齐）：是。

师：烙1张饼和烙2张饼为什么用的时间一样多？说说你是怎么做到的？

生：因为这个锅里每次能烙2张饼，所以可以同时把2张饼一起放进锅里。先一起烙正面，用3分钟；再一起烙反面，再花3分钟。一共6分钟。

师：听明白的同学说说你听懂了什么？同样是烙2张饼，为什么花费的时间不一样？

生：因为“一次最多能烙2张饼”，也就是说可以2张饼一起烙。先是2张正面，再是2张反面，所以也花了6分钟。

生：一次可以烙2张饼，如果1张1张地烙，锅有空着，浪费了空间。所以要花12分钟。

生：2张饼同时烙使锅最大程度地被利用，就可以节约时间，所以只需要6分钟。

【意图说明】

根据学生的认知水平，首先让学生探究2张饼的最优烙法，降低思维的难度，减缓知识的坡度。在学生呈现两种结果后，教师追问“为什么烙1张饼的时间和烙2张饼的时间是相同的？”来激发学生的探究欲望。通过比较，明确锅里烙2张饼时，是充分利用了锅的空间，初步感悟优化的思想，形成寻找解决问题最优化方案的意识，为探究3张饼的最优烙法做好铺垫。

2.合作探究，寻求3张饼的最优烙法

1）猜测推理

师：烙3张饼的话可能需要多少时间？谁来大胆预测一下。

生：6分钟。

生：9分钟。

生：12分钟。

2）合作交流

师：我们每个人身上都有两张小肉饼（师伸出自己的手），自己在桌上烙3张饼，说说你是怎么烙的？需要多少时间？

师：饼不够怎么办？（自问自答）可以用双色片代替，也可以和同桌合作完成。

学生活动。

学生汇报。

生1：我用了12分钟，因为一共需要烙4次。先是2张饼同时烙，它们的正反面烙完需要6分钟；剩下1张，烙正反面也需要6分钟。所以一共烙4次，12分钟。

生2：我只需要9分钟。（学生边说烙的过程，边操作双色片）先烙第1张和第2张的正面；再将第2张饼取出来，烙第1张的反面和第3张的正面；这时第1张饼熟了，再烙第2张和第3张的反面，共烙了3次，共用9分钟。

师：谁看明白只需要9分钟是怎么烙的呢？请你来再介绍一下。（略）

师：多么有创意的烙法呀！同学们，你们有没有问题要问？

生：为什么要中间把第2张饼取出来？

师：你的思维很敏锐，一下子发现了问题的关键，能解释吗？

生：如果像第一组那样不取出来烙，最后只剩下1张饼就要单独烙，锅没满就浪费空间，也就浪费了时间。要想节省时间就要保证每次锅里都要放2张饼，所以我们就不停地用小圆片来演示，发现只有这样交替烙才能保证每次锅里都有2张饼。

师：你们太善于思考了，在不断的操作演示中发现了节省时间的关键。同学们，如果让你选择，你喜欢哪种烙法？为什么？

生：我喜欢交替烙的方法，这样节省时间。

【意图说明】(www.zuozong.com)

在3张饼的烙法的探究过程中，有意识地进行了第二次对比，通过对3张饼中两种不同方法的对比（12分钟和9分钟），使学生认识到了“要想最节省时间就不能剩下1张饼单独烙”。

师：有没有更省时的方法了？有没有可能是8分钟，或者像前面猜测的那样是6分钟？我们会不会出现漏掉方案的情况？为什么？

生：没有了，因为锅里每次都是满满的，锅的空间被充分利用，所以时间不可能再少了。

师：分析得有道理，看来3张饼交替烙，每次都是2张饼一起烙，最大限度地节约了空间和时间。这就是根据具体情况统筹安排。

【意图说明】

“为什么用时9分钟是最少的？有没有可能是8分钟甚至更少？我们会不会出现漏掉方案的情况？怎样才能保证结论是严谨的、唯一的？”这既解决了烙饼方案多样性的问题，更解决了用时最少的确定性问题。烙饼所要花费的时间只与所要烙的总面数相关。3张饼有6个面，每次烙2面，必须要烙3次才能完成任务。所以费时只要3×3=9（分钟）。只有将统筹和抽象、数学建模结合在一起，这样的优化才是数学化视野下的数学基本活动。

3）教师介绍连线和填表的方法

师：前面的操作也可以用连线的形式来整理。

师：第一次烙饼后是否一定要拿出2号饼？

生：也可以拿出1号饼？

师：前面的操作还可以用表格的形式来整理。

师：第一次，在饼1、饼2下写正、正。后面的表格怎么填？

生：第二次，在饼1下写反，饼3下写正。

生：第三次，在饼2、饼3下都写反。

4）引导质疑

师：对前面的烙饼过程有什么疑问？

生：生活中的烙饼好像不是这样的，如果烙正面要3分钟，那么反面烙熟是不需要3分钟的，因为在烙正面时反面也已经升温。

生：2号饼拿进拿出会影响质量。

师：在生活中烙3张饼确实不像我们课堂上说的这样交替烙。我们学习“烙饼问题”不是为了去烙饼，而是借助对这一问题的研究来进行数学思考，建立数学模型，探索合理安排时间的策略，寻找解决问题的最优方法。

3.继续探究，寻找规律

1）研究更多张要不要探究

师：之前我们研究了烙2张饼和3张饼所花的时间，要烙更多张饼怎么办？需要我们一一探究吗？小组合作，讨论2个问题：

（1）双数张怎样烙需要探究吗？

（2）找到了3张的最优方案，其他单数还要探究吗？

学生小组讨论，教师巡视。

学生汇报。

生：烙4张饼的话，可以2张2张烙，4=2+2。烙2张花6分钟，烙4张就是6+6=12（分）或者2×6=12（分）。

生：烙5张，可以先2张2张烙，再烙1张……

生：不对不对，单独烙1张，又会有锅空着的时候，肯定不是最少时间。应该先烙2张，然后再烙3张，5张=2张+3张。一共花了6+9=15（分）。

师：现在出现了两种烙法，其他同学说说你们的想法。

生：我也是想分成2张和3张来烙的，这样花的时间最少。

师：让锅不空可以使花的时间最少，已经成为我们的共识。那6张饼、7张饼甚至更多的饼怎么烙呢？

生：6张，可以是2张+2张+2张，3个6分钟共18分钟；也可以是3张+3张，2个9分钟，也是18分钟。

生：7张，就是2张+2张+3张，6+6+9=21（分）。

生：8张和6张一样，可以是2张+2张+2张+2张，4个6分钟共24分钟；也可以是3张+3张+2张，9+9+6=24（分）。

师：大家说得很好，接着烙4、5、6…张饼，我们不再需要一次次地去尝试，只需要通过分析、类推，就可以知道需要的时间。

【意图说明】

通过1张、2张的烙法，渗透“满锅”思想，3张渗透“满锅”和“省时”的思想；后续的多张饼的烙法，则脱离动手操作，让学生回顾前面的基本烙法，类推出烙饼的张数为2的倍数时所用的时间和烙饼张数是奇数时所花的时间。通过建立数学模型，帮助学生思考应采用怎样的组合方式。这样的教学，随时随处渗透数学思想方法，既培养了学生善于思考、学会思考的能力，又促进了学生的迁移类推能力，使他们在学习中习得方法。

2）再次比较，寻找规律

师：刚才有同学说6张既可以分成3个2张，也可以分成2个3张，你更喜欢哪一种方法？为什么？

生：我觉得两种方法都可以，因为它们需要的时间是一样的。

生：我更喜欢把6分成3个2，因为2张2张地烙会比较方便，烙了正面烙反面，然后拿出来换两张，不像3张3张地烙一直要换，不方便。

生：我和他的意见一样，如果花的时间会节省，宁可选麻烦一点的方法，现在时间一样，就没必要这么换来换去了。

师：你们真是太棒了，不仅会同时烙，还会交替烙，现在还知道选择更优化的方法。

【意图说明】

“6张饼，既可以2张同时烙，也可以3张轮换烙，你更喜欢哪种烙法？为什么？”学生通过比较，结合生活实际得出：虽然这些方法都可以得到烙饼的最短时间，但烙2张饼的方法与烙3张饼的方法是有区别的，在操作程序上很显然烙2张比烙3张更方便一些，而且省心很多，不需要考虑取进取出，不需要考虑不同号码饼的正反面。如果要烙的饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了；如果要烙的饼的张数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。这样让优化的思想得到了进一步的拓展与深化。

3）总结规律

师：从刚才的讨论中，你们已经发现了什么规律？

生：每锅烙2张，如果需要烙饼的张数是2的倍数，就可以看作几个2，就要花几个6分钟。比如：4张饼，就要花2个6分钟，一共12分钟；6张饼就要花3个6分钟，一共18分钟……依此类推。

生：如果烙饼的张数不是2的倍数，都可以看成1个3和几个2的和。比如：5张饼，就看成1个3和1个2；7张饼就看成1个3和2个2……

师：为什么不是1个1和几个2？

生：只要其中有一次是1张单独烙的，就不是最优方法。

4.回顾探究，总结规律

师：让我们一起来回顾一下，为什么只要探究3张饼，其他都不用探究了呢？

生：因为，更多数量的饼需要烙的时间只需要根据烙2张和3张所花的时间进行推算就可以了。

（三）拓展思路，深化认识

师： 之前同学们都说烙1张饼需要6分钟，一定吗？我们来看看这是什么玩意儿？（课件出示双面电饼铛，铛字上加拼音）

生：双面电饼铛（chēng）。

师：是的，用了它，一张饼两面一起熟，一张饼只要3分钟。

【意图说明】

又一次地设计认知冲突，让学生发现了“规律”中的“不规律”，使学生对这一问题和思考方法有了深刻的印象和透彻的理解。

（四）补充练习，巩固优化

1.解决问题

师：下面就让我们用今天学到的本领来解决一些生活中的问题。

（1）一个电脑游戏，每局的时间是3分钟，可以单人玩，也可以双人玩。甲、乙、丙三人都想玩2局，至少要多少分钟？你是怎么安排的？说说你的解决办法。

生：第一次甲和乙一起玩一局，第二次甲和丙一起玩一局，第三次乙和丙一起玩一局。

（2）餐厅里来了三位客人，每人点了两个菜。而餐厅里只有两位厨师，假设两个厨师做每个菜的时间都相等，怎样安排炒菜的顺序比较合理呢？

生：我可以用列表的方法。

（3）3辆洒水车一起去加水，加满一车水要6分钟。只有2个水龙头，怎样安排，3辆洒水车才能尽快装满一起开走？

生：第一次，1号车甲龙头3分钟，2号车乙龙头3分钟；

第二次，1号车甲龙头3分钟，3号车乙龙头3分钟；

第三次，2号车甲龙头3分钟，3号车乙龙头3分钟。

2.总结全课

师： 说说这节课你的收获。

生：知道了烙饼的方法，要锅不空才能最节约时间。

生：如果一个锅烙2张，那么研究了烙2张饼和3张饼所花的时间后，其他的都可以不用一一研究了，只要借用烙2张饼和3张饼的方法就可以了。

生：知道了如果需要烙饼的张数既可以分成几个2，又可以分成几个3和几个2时，尽量分成几个2。虽然用时一样，但操作更简便。

生：知道了学烙饼问题不是为了烙饼，而是为了学习一种方法。

生：知道了可以利用规律解决问题，烙饼问题的方法可以用在很多地方。

●教学反思

1.在反复的交流比较中感受优化的思想

优化是生活中经常遇到的问题，优化思想是重要的数学思想。让学生理解、感受一些重要的思想方法，不仅能使学生深刻地理解知识，更能使学生学会数学的思维，达到发展思维的目的。而数学的思想方法也只有在具体解决问题的过程中才能得以体验与感悟。烙饼问题的核心就是优化，具体地说，就是对烙饼锅的空间资源的最大化利用。教学中设计的三个核心比较问题，始终抓住了“优化”这一核心思想，让学生在具体情境的反复比较中体会到：只有把锅的空间占满，才能达到省时的目的。

第一次比较：结合学生原有认知比较烙两张饼为什么用时不一样，使学生理解两张同时烙更省时间。

第二次比较：比较烙三张饼的几种不同烙法，哪种最省时？为什么？使学生理解锅里每次都放满了，就能保证资源没有浪费，所以三张饼交替烙最省时间。

第三次比较：比较烙6张饼的两种烙法（2+2+2和3+3），让学生自己选择会怎样烙，使学生进一步感知优化问题不但要考虑省时，还要省力。

这三次比较在追问最省时的烙饼方法原因的过程中，帮助学生具体而深刻地感受了优化的本质内涵。

2.在烙饼问题的教学中，重视培养学生的归纳推理意识

怎样得到“最优化”的方案，是一次又一次的实验、尝试还是利用推理？本课采取了两者相结合的策略。先让学生探究3张怎样烙能使锅始终不空，然后启发学生由已知结论“3张最少9分钟”推出5张、7张等其他单数张的最少用时。实践表明，效果不错。

本节课学生在探究过程中不是被动的接受者，而是主动地建构知识的探索者。烙饼问题最佳方案的形成、规律的发现，不是教师“给予”，不是学生被动接受，而是在教师的引导下，学生积极主动参与探究的活动。通过动手、动口、动脑发现的，是学生自己悟出来的，是主动获得的。学生通过新经验和原有知识经验的反复的、双向的相互作用，来充实、丰富和改变自己的知识经验，在探索活动中观察、分析、归纳，从中发现规律，进而应用规律解决问题，最终促进学生知识的内化。

本课还有拓展空间，即让学生由每次最多烙2张饼，拓展到每次最多烙3张饼，这时3、6、9等张数不用探究，只要探究4张、5张，就可以归结为：

7=4+3　　8=5+3

10=4+3+3　　11=5+3+3

13=4+3+3+3　　14=5+3+3+3

当然，这对学生构成了新的挑战，他们的推理能力也能得到进一步的发展。

●专家点评

十多年来，“烙饼问题”已有不少名师做过各有特色的课堂教学演绎。总体感觉，数学之外的精彩多于数学本身的魅力。

顾文老师在上海市名师培养基地的学习过程中，基于“立足儿童，彰显数学，回归本色”的理念，对这一课题做了一番研究，上出了该内容应有的数学味。

其一，在学生探究得出3张饼最少需要9分钟之后，启发学生思考：

（1）双数张怎样烙需要探究吗？

（2）找到了3张的最优方案，其他单数还要探究吗？

这两个问题使学生豁然开朗：一个锅最多同时能烙2张饼，双数张不用研究；解决了3张饼的优化问题，其他单数张都可以转化为3与双数的和。从而依靠推理而不是盲目探究，彻底解决了这一问题。

如果学生回过头来再次审题，就会理解为什么题目只要大家研究3张饼怎么烙，原来其中蕴含着数学的奥秘（大于3的奇数都可以表示为3与若干个2的和）。这才是“烙饼问题”的“数学味”。

其二，变换问题情境，将烙饼问题的优化策略加以推广应用，并对不同情境的约束条件进行比较。

例题： 每次最多2张　3张饼　　　烙2面　　　　怎样烙最省时？

习题1：单双人游戏　 3人玩　　　每人玩2局　　怎样玩最省时？

习题2：2个厨师　　　3个客人　　每人点2个菜　怎样合理安排炒菜顺序？

习题3：2个水龙头　　3辆洒水车　分2次加　　　怎样合理安排加水顺序？

多种多样的情境，约束条件与优化途径及其方案的具体内容也各不相同，通过对照，学生不难发现相通的数学内涵。其中的习题3具有一定的灵活性，是一个不错的变式。通过这些练习，学生感叹“烙饼问题”的应用还真不少。数学的魅力，它的广泛应用性已尽在不言之中。

曹培英