数学教学：等差数列前n项和计算

一、教材分析

（一）教学内容

《等差数列前n 项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。

（二）地位与作用

本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、学情分析

（1）知识基础。高一年级学生已掌握了函数、数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

（2）认知水平与能力。高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

（3）任教班级学生特点。班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好地掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

三、教学目标

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，制定如下教学目标：

1.知识与技能

（1）掌握等差数列前n 项和公式。

（2）掌握等差数列前n 项和公式的推导过程。

（3）会简单运用等差数列的前n 项和公式。

2.过程与方法

通过公式的探索、发现，在知识发生发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。通过对等差数列前n 项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学方法，提高学生类比化归、数形结合的能力。

3.情感态度

结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

四、教学重难点

教学重点：探索并掌握等差数列前项和公式，学会用公式解决一些实际问题。

教学难点：等差数列前n 项和公式推导思路的获得。

五、教学方法

“三疑三探”教学法，即通过设疑自探、解疑合探、质疑再探、应用拓展等环节引导学生探究规律，得出结论。

六、教学过程

（一）设疑自探

问题情境：

图9.1

【师】在17 世纪，莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃而建造了坐落于印度古都阿格的泰姬陵。它的主体建筑是用纯白大理石砌建而成，宏伟壮观，令人神往，成为世界古建筑七大奇迹之一。其中用宝石镶饰的陵寝，图案可谓之精美绝伦。据说陵寝中有一个三角形图案，是用大小一样的宝石镶嵌而成，共有100 层（见图9.1），你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

【教学设计意图】数学学习总是与一定的“情境”紧密相关。从情境问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生围绕高斯的算法进行自探，形成自探提纲。它是“三疑三探”教学模式的基础环节。

【师】看到这个问题情境，我们能想到那些数学问题呢？

【生甲】这些宝石成什么规律，如何求它们的和？

【生乙】由这个问题情境，想到了如何求1+2+3…+100=？

【生丙】高斯的算法能用来求任何等差数列的前n 项和吗？这种方法叫什么方法呢？

【其他生】……

【师】大家提出了这么多问题。这节课我们主要研究以下三个问题，见表9.1。

表9.1　学习目标

这三个问题也就是这节课的学习目标。

【说明】学习目标是“三疑三探”教学模式的首要环节，这个学习目标由学生自探形成，也就是自探提纲。这个环节要留足时间，避免流于形式。

（二）解疑合探（围绕自探提纲，学生小组进行合作交流，时间17 分钟到20 分钟。）

学生围绕自探提纲分小组合探，小组先分层讨论，再群体讨论，群体讨论要解决相关问题。小组长做好分工，安排好讨论结论的记录整理和展示，既有方法归纳又有规律总结。讨论要充分，并紧紧围绕本节内容进行。教师要参与到小组讨论中去，为下一步展示做准备。各小组按教师分工，迅速展示，主动，积极，有序，高效。可采用重点展示、小组展示、分类展示等形式，要求尽量脱稿。展示方式可口头或书面，但要解洁、规范、声音洪亮。结束时要问“同学们还有什么不同意见或有不明白的地方吗？”一般由小组排名3、4、5、6 名展示，1、2 名点评或拓展。非展示同学要认真倾听，并迅速记录或纠错。点评内容包括：A 打分并说明扣分原因；B 此类问题的一般规律和方法；C 变式训练；D 时间一般不超过2 分钟。精彩点评结束要有掌声鼓励。教师认真倾听，注意发现学生闪光点和不足，为点拨做准备。

【合探一】髙斯的算法思路。

【合探二】图案中，从顶层到第51 层，宝石共有多少颗？

【合探三】等差数列前n 项和公式的推导。

【师】请同学们全体起立，先在小组内交流自探成果，本小组人一起归纳整理以上这三个问题，待小组交流快结束时，教师出示展示分工及要求。

表9.2　小组展示表

【要求】

（1）展示人书写要及时、迅速、规范。

（2）书面展示不仅展示结果，还要用彩色粉笔总结规律方法。

（3）非展示同学结合展示，继续讨论，为点评和补充做准备。

展示组迅速派人板书到黑板划定的位置上。

【师】现在请5 组的5 号上黑板展示第一个问题。

【合探一】高斯的算法思路

【生甲】高斯在很小的时候就解决了……这个问题。据说，在高斯上小学的时候，老师提出了上面的问题。在其他同学无一例外地忙于把这个数字逐项相加时，高斯已经很轻松地得出了正确答案。他的具体算法如下：

（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050.

这种算法蕴涵着求等差数列前n 项和的一般性规律。教学中，让学生去独立观察、探索、发现其内在规律，前提是保证学生有充分的思考时间和空间。对学生来说高斯的算法是非常熟悉的，他们懂得采用首尾配对求和的方法来进行计算，但他们多数对这种方法没有深层的理解，只处于记忆阶段，为了使学生进一步理解这种算法的原理，所以教学设计了如下问题情境。

【合探二】图案中，从顶层到第51 层，宝石共有多少颗？

学生小组讨论，各小组采用合作探究的方式学习，把各小组总结的方法分别展示出来。

下面请第3 组的生乙做出展示：

【生乙】的方法如表9.3。

表9.3

【师】其实上面的方法是运用了“化归思想”，把奇数个项的问题变成了偶数个项求解，这位同学的方法应当得到充分肯定与表扬。

【设计意图】借求奇数个项和的问题转化成偶数个项求解渗透化归思想。如果简单地仿照高斯算法，就会出现不能全部配对的问题。

【师】将以上图案改成从第一层到第n 层（1＜n＜100，n 是正整数），共有多少颗宝石？

学生小组讨论，教师下面巡视，经过激烈的讨论后，学生发现需要对n为奇数和n 为偶数两种情况讨论。

【师】能否不讨论，讨论实在不方便。

【生】我可以把刚才的三角形图案补成平行四边形图案。下面请同学们看黑板（如图9.2）：

图9.2

【设计意图】借助图形，能激发学生的学习兴趣，唤起学生的思维，并为学生提供一个直接的模型——倒序相加法。

【师】下面请同学们按小组讨论3 分钟，举手上黑板来展示。

【生】通过以上的启发，我得出如下解法：

(www.zuozong.com)

故1+2+3+…+n=。

【合探三】在a1 为首项，公差为d 的等差数列{an}中，如何求其前n 项和 sn=a1+a2+…an？

【师】请第2 组丙同学上黑板展示，由前面的大量铺垫，学生得出如下过程：

∵ sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]

sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]

∴ 2sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

∴ sn=（公式1）

在同学们展示结束时，老师出示表9.4。

表9.4

要求：（1）点评同学，先打分，若不是满分说明扣分原因。

（2）点评同学强调解题关键，提出新的见解思路或注意事项，并改变条件重新组题。

（3）非点评同学应积极做出补充和质疑。

【师】第一组评价第五组展示的合探一。

【生甲】我给第五组打10 分，它思路清晰，板书整齐。同学们还有什么不明白的地方吗？

【某生】我有问题？那如果换成1+2+3+…+200=？也能这样算吗？

【生甲】末尾换成任何偶数都能算。

【某生】如果换成2+4+6+…+200=？也能这样算吗？

【生甲】所有求和都可以这样求。

【某生】如果是1+2+3+…+101=？如何算？

【生甲】如果末尾换成奇数就不能配对了？那怎么办？合探二中已经给了解释。

【师】好，下面请第四组评价第三组展示的合探二。

【某生】我给第三组打10 分，第三组同学没有死套高斯的算法，把奇数个项的求和问题转化为偶数个项求和问题。这一点很好。不过我有一个问题，以后，这样的求和都得考虑末尾是奇数还是偶数？奇数需要转化，偶数需要配对。

【某生】那如果末尾是未知数，是否需要分奇偶两种情况讨论呢？

【部分学生】是。

【师】不用，我们刚才算了前个连续正整数的和，这种方法在数学上叫倒序相加法，可以算一些数的求和问题。

【师】好，这个问题就讨论到这里。下面请第六组评价第二组展示的合探三。

【某生】我给第二组打9 分，他们板书整齐，思路清晰。不过没有写明白这种方法的适用范围，以及它的变形公式。

下面我可以补充：这种方法是适用于首尾有规律的数求和。比方说：等差数列。由于我们前面学过了 an=a1+（n-1）d，所以等差数列的求和公式还有以下的一种变形公式：Sn=na1+（公式2）。

若已知n，a1，an，用第一个公式；若已知n，a1，d，用第二个公式。

【学生】一起鼓掌，喝彩。

【师】最后总结，然后给各展示组和评价组打分汇总。

（三）质疑再探

下面进入质疑再探环节，启发学生提出更有价值的问题。

【生】倒序相加法不仅适用于等差数列求和，只要是首尾有规律的数列都可以用这种方法求和。例如：

已知 f（x）=，求的值。

【师】非常好，不过要注意倒序相加法的步骤：

第一步：先令S=…；

第二步：再把S=…倒着写一遍；

第三步：把这两个等式相加，并整理。

【生】我还有一个问题，前面讲了等差数列的通项公式 an=a1+（n-1）d，我们分析了等差数列的通项公式的特点 an=nd+（a1-d），令k＝d，b＝a1－d，则通项公式是关于n 的一次函数。若是等差数列，则它的通项公式是关于n的一次函数。反过来，若一个数列的通项公式是关于n 的一次函数，那么这个数列是等差数列。那么求和公式是否也有这样的特点呢？

【师】请同学们思考三分钟，看那一组能答对，答对了加分。（加分是“三疑三探”教学模式中反复不停的一个过程。主要是为了鼓励学生，激发学生的学习兴趣。）

【某组】等差数列前项和公式也有这样的特点，把等差数列前n 项和 Sn=na1+进行整理以后，Sn=。令A=，B=a1-，则它的求和公式是，关于的二次函数（无常数项）。若一个数列是等差数列，则它的求和公式是 Sn=An2+Bn；反过来，若一个数列的求和公式是 Sn=An2+Bn，则这个数列是等差数列。

【师】同学们满意吗？

【生】满意。

【师】给这一组加10 分。

【设计意图】让学生对知识得到进一步升华，这个环节若学生提不出问题，老师可适当引导，点拨。

【说明】质疑再探这个环节要留足时间，让学生大胆设想，提出更多问题。老师要时刻鼓励学生的做法，班里学生要不断地给予提出问题的学生掌声。

【师】哪位同学还有问题？

【某生】若已知数列的前n 项和，我们能判定这个数列是等差数列，并且能求出这个数列的公差和首项。但证明一个数列是等差数列，能否证明它的求和公式是关于n 的二次函数。

【其他生】有的说能，有的说不能？

【师】最后总结：一般用于选择填空题，证明题要用定义。

【某生】可能还有问题……，就这样学生不断地提出问题，分析问题，和解决问题，直到下课。

【师】大家提出了这么多问题，这节课我们主要研究了哪几个问题。老师分类汇总。

【说明】问题是创造性活动的开始，从学生提出问题中选取精华，让学生通过产生问题、解决问题的过程获取新的知识是“三疑三探”教学模式的主要思想。

【师】设置典例，促进学生对公式的应用（这个环节是三疑三探的应用拓展环节）。教师结合本节重点、难点、易混点等知识内容出示明确而具体的导向信息背景材料，引导学生编题。可以编选择题、填空题、解答题。哪一个组编了题，老师就给哪一个组打分。哪一个组解答了，就给哪一个组加分。

【某生】我仿照书上例1 的实际应用，也给同学们编了一道题。下面我给展示在黑板上：为了参加冬季运动会的长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m），如表9.5。

表9.5

问这个同学天一共将跑多长的距离？

【设计意图】应用数学公式解决实际问题，是为了激发学生的兴趣，既让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活。同时通过问题的解决，又加深了对数学公式的理解和掌握，从而培养学生发现数学问题，揭示数学规律的兴趣。

【某组】老师，我们组给解答。从表格可以看出这组数是以5000 为首项，500 为公差的等差数列。所以这个同学7 天一共将跑多长的距离？相当于求等差数列的前7 项和S7=7×5000+×500=45500。

【师】同学们，他回答的对不对呀？学生一起喊：“对”。

【师】给这组加分吗？加10 分可以吗？

【生】一起喊，可以。

【说明】加分这个环节，必须获的学生同意后，全体学生觉得没问题，方可加分。

【某组】老师，我们也仿照书上的例2 给同学们编了一道题，我给同学们展示一下，其他组可能你争，我抢。老师我们组也有一道例题可供选择。如果这时时间不到，老师就继续让学生一起展示、探讨。如果时间快到了，老师就停住。同学们还有什么问题，下节课再讨论吧。

【师】可以给同学们针对这节课内容出相应的题，与同学生们出的题做比较。

【说明】老师的题要有针对性，要宜于同学们对所学内容分的理解和数学思维的发展。

【师】我也给同学们出一道题：

例题：已知等差数列的前10 项和是310，前20 项和是1220，求其前n 项和Sn。

【某组】上黑板展示，其他学生等待评价。

分析：要想求等差数列的前n 项和，必须求出首项和公差。根据等差数列的前n 项和公式列两个方程，求出首项和公差，然后代入前n 项和公式求解。这时，老师可以找其他学生一起评价（时间仓促时，直接让学生口头评价打分。时间充足时，可以让某同学上黑板展示，评价打分。）

【某生】老师，我有一个办法，在等差数列当中，依次10 项的和仍然成等差数列。公差变成100d，则有100d=600，即d=6。然后把代入前n 项和公式当中求出首项 a1。

【总结】由学科班长评出四星一组（质疑之星，评价之星，展示之星，解疑之星，优秀小组）。

【说明】新授课的重点在“设疑自探”和“解疑合探”中的评价环节，部分课堂甚至可以取消“运用拓展”环节，放在习题课上专项训练。

小结部分教师既要肯定这节课学生的表现，又要强调不足的部分。同时应用拓展这个环节就是要把这节课学生没有强调的部分搞明白。