标志变异指标计算方法

标志值分布的差异程度可以从不同角度、用不同方法去考察且能反映总体单位的分布形态，故描述分布离中趋势的标志变异指标有多种。常见的标志变异指标有全距、平均差、方差、标准差和离散系数等。

（一）全距

全距又称极差，反映分布数列中各标志值的变动范围，是最大标志值（最大变量值）与最小标志值（最小变量值）之间的距离，用R 表示。计算公式为：

由于全距是用一组数据的两个极值表示的，所以全距表明了一组数据数值的变动范围。R越大，表明数值变动的范围越大，即数列中各变量值差异越大；反之，R 越小，表明数值变动的范围越小，即数列中各变量值差异越小。

1.对于未分组资料

【例5-16】　某竞赛组有5 人，成绩如图5-26 所示。要求：计算全距。

图5-26　竞赛组成绩

解　利用Excel 直接求最大标志值与最小标志值。计算过程如图5-27 所示。

图5-27　最大标志值与最小标志值计算过程

全距计算：

即该竞赛组5 人最高分与最低分相差34 分。

2.对于分组（且为开口组）资料

由于开口组没有下限或没有上限，计算全距时需要做出假定。

【例5-17】　某企业有100 名职工，某月销售额计划完成情况如图5-28 所示。要求：计算全距。

图5-28　销售额计划完成情况

解　由于第一组没有给出下限，最后一组没有给出上限，参考相邻组组距，假定第一组下限为90% -10%= 80%，最后一组上限为110%+ 10%=120%，则

全距是一种简明易懂的标志变异指标，但有明显的缺点，它只反映极端值之间的差异程度，且易受极端值的影响。

在实际工作中，全距可以用于检查产品质量的稳定性和进行质量控制。在正常生产的条件下，产品质量稳定，全距在一定范围内波动；若全距超过给定的范围，就说明有不正常情况发生。全距易受极端值影响，全距计算结果往往不能反映数据的实际离散程度。

（二）平均差

平均差是各个标志值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，因离差和为零，必须将离差取绝对值来消除正负号的影响，用AD 表示。

平均差反映各标志值与算术平均数之间的平均差异。平均差越大，表明各标志值与算术平均数的差异程度越大，该算术平均数的代表性就越小；平均差越小，表明各标志值与算术平均数的差异程度越小，该算术平均数的代表性就越大。

根据资料是否分组，平均差可分为简单平均式和加权平均式。

1.简单平均式

对未分组资料，用简单平均式：

此时，平均差计算步骤：

第一步，求算术平均数。

第二步，求每个标志值与算术平均数的离差。

第三步，求离差的绝对值。

第四步，求平均差。

【例5-18】　已知资料同例5-16，计算平均差。

解 对资料进行整理排序，并利用Excel 进行计算，如图5-29 所示。

图5-29　利用Excel 进行计算

2.加权平均式

在资料分组的情况下，应采用加权平均式：

【例5-19】　已知资料同例5-15，计算平均差。

解　计算过程如图5-30 所示。

图5-30　平均差计算过程

即该校学生每月消费支出平均差为105.04 元。

平均差计算简便，意义明确，而且平均差是根据所有变量值计算的，因此它能够准确、全面地反映一组数据的变异程度。但是，用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于进行数学处理和参与统计分析运算。

（三）方差和标准差(www.zuozong.com)

方差是各变量值与其算术平均数离差平方的算术平均数，又称均方差，其意义与平均差基本相同，也是以各个标志值对其算术平均数求平均离差的方式进行计算的，为了消除离差在求和过程中正负抵消的问题，采用离差平方的方法，在数学处理上较平均差更为合理，宜于进行各种代数形式处理，是最常用的一种标志变异指标，用σ2 表示。标准差是方差的平方根，用σ表示。根据资料是否分组，方差与标准差可分为简单平均式和加权平均式。

1.简单平均式

对于未分组整理的原始资料，方差和标准差的计算公式分别为：

【例5-20】　已知资料同例5-16，计算方差和标准差。

解　计算过程如图5-31 所示。

图5-31　方差和标准差计算过程1

计算方差：

计算标准差：

2.加权平均式

对于分组数据，方差和标准差的计算公式分别为：

【例5-21】　已知资料同例5-15，计算方差和标准差。

解　计算过程如图5-32 所示。

图5-32　方差和标准差计算过程2

计算方差：

计算标准差：

该校学生每月消费支出方差为18376 元2，标准差为135.56 元。

标准差的特点是不易受极端数值影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方及开平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，方便进行数学处理和统计分析运算。

全距、平均差和标准差都是绝对数，不仅可以用来度量单一数列的标志变异程度，衡量其平均数的代表性，还可以用来比较两个以上水平相同的标志的离散程度。但在比较两个平均数不相等的标志的离散程度时，要用离散系数。

（四）离散系数

离散系数反映相对差异程度，用于比较不同水平的数列的变异程度，通过将标志变异绝对指标与相应的算术平均数对比进行求得。测定标志变异程度的绝对指标有全距、平均差和标准差，相应的测定标志变异程度的相对指标有全距系数、平均差系数和标准差系数。由于分子、分母单位相同，离散系数表现为无名数，通常用V 表示。

（1）全距系数计算公式：

（2）平均差系数计算公式：

（3）标准差系数计算公式：

【例5-22】　为了测试某种激素的效果，将这种激素混合在大象和兔子的食物中，三个月以后，发现大象平均体重由原来的5000 kg 增加到5500 kg，兔子平均体重由原来的1 kg 增加到1.5 kg。试计算分析，食用这种激素对大象与兔子中哪种动物的作用更大。

解　食用这种激素后，大象与兔子的体重均发生了变化。大象平均体重增加了500 kg（5500 kg -5000 kg），兔子平均体重增加了0.5 kg（1.5 kg-1 kg）；显然，500 kg＞0.5 kg。但是，由于大象与兔子的体重水平不一样，并不在一个级别上，因此，无法直接将绝对数进行比较，只能用相对数的形式即离散系数进行比较。

由此可见，食用这种激素后，兔子的离散系数为50%，大于大象的离散系数10%，因此，食用该激素对兔子的作用更大。

【例5-23】　将两种不同玉米品种分别在不同的五块田地上试种，测得其产量如图5-33 所示。假定生产条件相同，试计算这两个玉米品种的收获率，确定哪一个品种更具有稳定性和推广价值。

图5-33　不同玉米品种试种产量

解　面积与产量属于调和平均数，需要计算每块地的平均亩产作为变量。

甲品种计算过程如图5-34 所示。乙品种计算过程如图5-35 所示。

图5-34　甲品种计算过程

图5-35　乙品种计算过程

所以，乙品种产量较高，且更稳定，值得推广。