法拉第电磁感应定律的完整形式

当回路面积的改变是由导体棒切割磁感线引起时,定律的形式为

典型例题

例1　如图11.10 所示,半径为R 的螺线管内存在匀强磁场,磁场随时间均匀变大,变化率为k。 求长为R 的直导线在a、b、c 三个位置时,各自产生的感应电动势大小为多少? 假设直导线所在的平面垂直于磁场,且L 为磁场中心O 到直导线c 的垂直距离。

解　本题可以参照知识点中所说的感生电动势的求法。 直导线在a 位置时没有电动势,感生电场同导线垂直,如图11.11 所示。

图11.10

图11.11

直导线在b 位置时形成的电动势,大小等于闭合回路OMN 在磁场中形成的感生电动势,OM 和ON 磁场中不形成感应电动势

同b 位置一样,OE 和OF 在磁场中也不形成感应电动势。

例2　如图11.12 所示,一磁感应强度为B 的匀强磁场,分布在半径为R 的无限长圆柱体内,设B=B0t(B0 ＞0)。 现有一半径也为R,电阻均匀分布且总电阻为r 的金属圆环,放在垂直于磁场的平面内,金属圆环中心在匀强磁场的对称轴上。 长为R、电阻为r′的直导线的两个端点a、b 与金属圆环良好连接,求此直导线中感应电流的大小。 (设感应电流所产生的磁场可以忽略)

图11.12

图11.13

直导线ab 将金属圆环分割成两个回路,两个回路都可以形成电磁感应现象,对回路中电流的分析必须涉及两个电源。 依次可得

联立①②③三式求解可得

巩固提升

1.如图11.14 所示是一种延时开关,当S1 闭合时,电磁铁F 将衔铁D 吸下,C 线路接通。 当S1 断开时,由于电磁感应作用,D 将延迟一段时间才被释放。 试分析下列说法中正确的是(　)。

A.由于A 线圈的电磁感应作用,才产生延时释放D 的作用

B.由于B 线圈的电磁感应作用,才产生延时释放D 的作用

C.如果断开B 线圈的电键S2,无延时作用

D.如果断开B 线圈的电键S2,延时将变长

2.边长为L 的正方形导线框abcd,在磁感应强度为B 的匀强磁场中以垂直于边的速度v在线框平面内移动,磁场方向与线框平面垂直,如图11.15 所示,设整个线框的总感应电动势为ε, b、c 两点的电势差为U,则(　)。

A.ε=BLv,U=BLv　B.ε=0,U=BLv

C.ε=0,U=0　D.ε=BLv,U=0

3.如图11.16 所示,已知粗细均匀的圆环半径为R,杆长为2R,两个物体单位长度的电阻均为ρ。 匀强磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度为B。 在t=0 时,杆的中心与圆环相切。 现杆以速度v 沿着垂直于杆的方向做匀速直线运动,求杆中电流I 随时间t 的变换规律。 (感应电流所产生的磁场可以忽略)

4.如图11.17 所示,一磁感应强度为B 的匀强磁场,分布在半径为R 的无限长圆柱体内,设B=B0t(B0 ＞0)。 现有一半径也为R,电阻均匀分布且总电阻为r 的金属圆环,放在垂直于磁场的平面内,金属圆环中心在匀强磁场的对称轴上。 a、b 金属圆环上相距为R 的两点,则两点间的电势差Ua -Ub =________。 (设感应电流所产生的磁场可以忽略)

图11.14

图11.15

图11.16

图11.17

5.如图11.18 所示,直径为D 的导体圆环,由4 种等长的不同导体材料制作而成。 AB间的电阻值为R,BC 间的电阻值为2R,CD 间的电阻值为3R,DA 间的电阻值为4R。 环内有一均匀变化的磁场,其方向与圆面垂直,变化率为k。 试求圆环上最大的两点间的电势差值。

6.在图11.19 中ab、cd 为相距为L 的平行导轨(电阻可以忽略),a、b 间接有一阻值为R的固定电阻,长直细杆MN 可以按任意角θ 架在平行导轨上,并以匀速v 平移滑动,v 的方向与da 平行,杆MN 有电阻,单位长度的电阻值为R,整个空间充满磁感应强度为B 的匀强磁场。 求:

(1)固定电阻R 上消耗的功率最大时角θ 的值;

(2)细杆MN 上消耗的电功率最大时角θ 的值。

7.如图11.20 所示,均匀导体做成的半径为R 的Φ 形环,内套半径为R/2 的无限长螺线管,其内部的均匀磁场随时间正比例增大,B = kt,试求导体环直径两端M、N 的电势差UMN。

图11.18

图11.19

图11.20

(1)在t=0 到t=T0 这段时间内,小球不受细管侧壁的作用力,求小球的速度大小v0;

(2)在竖直向下的磁感应强度增大过程中,将产生涡旋电场,其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆,同一条电场线上各点的场强大小相等。 试求t=T0 到t=1.5T0这段时间内:(www.zuozong.com)

①细管内涡旋电场的场强大小E;

②电场力对小球做的功W。

图11.21

图11.22

9.如图11.22 所示,两条电阻可以忽略不计的金属长导轨固定在一个水平面上,互相平行,相距L。 另外两根长都是L、质量都是m、电阻都是R 的导体棒可以在长导轨上无摩擦地左右滑动。 在讨论的空间范围内,存在着竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。 开始时,右侧的导体棒具有朝右的初速度2v0,左侧的导体棒具有朝左的初速度v0。

(1)计算开始时流过两根导体棒的电流以及各自所受安培力的大小和方向;

(2)当两根导体棒中有一根速度为零时计算此时各棒所受安培力的大小和方向;

(3)让两根导体棒在磁场中运动足够长的时间,求系统损失机械能的最大值。

图11.23

图11.24

11.图11.24 为磁流体发电机结构示意图。 利用燃烧室加热气体使之离解成为等离子体,等离子体以高速进入两侧有磁极的发电通道,通道上下两侧面为电极。 等离子体中的正负电荷受磁场力的作用,分别向上下两侧偏转,则上下两个电极间就会产生电动势,这就是磁流体发电机工作的基本原理。 假设等离子体沿通道方向进入时的速率为v,其电导率为σ,发电通道中的磁场为匀强磁场,磁感应强度为B,发电通道上下电极面积均为A,上下电极的距离为L。 求:磁流体发电机的最大输出功率。 (已知等离子体中的电流密度j 与等离子体中电场强度的关系为j=σE,其中电场强度E 包括电动势所对应的非静电场Ei 和由于上下电极的电荷积累所产生的静电场Ee,即E=Ei +Ee;上下电极之间的电流I=jA。)

参考答案与解析