高中物理教学：复杂情形下平行板电容器的电荷分布与电场

两块正对的极板上所带的电荷等量异号且分布在极板正对的两个平面上;可忽略边缘效应,即电场只分布在正对的极板之间,这是我们通常讨论的最简单的电容器。

其实,多块极板平行放置时也可以形成电容器(孤立情形),如图8.32 所示。 该电容器带电之后,各个极板上所带电荷量满足以下关系:正对的两面上,电荷等量异号。 也就是说,在图中平面b 和c、d 和e、 f 和g 所带的电荷等量异号。 简单的证明可以这么来说,在正对的两面上,由于所有的电场线只能从一个平面的电荷出发,终止于另一个平面的异种电荷,所以它们的电荷等量异号;由于静电平衡,所以最外侧的两块极板内的场强Ein为零,而电场Ein是由各个平面上的电荷共同形成的,正对两面上电荷形成的电场在各处都能相互抵消。

在了解了电荷的分布之后,极板间的电场是很容易分析的。

图8.32

典型例题

例1　如图8.33 所示,C1 =C2 =C4 =2.0 μF,C3 =C5 =C6 =4.0 μF。 求:

(1)AB 间的电容;

(2)如果AB 间的电压为200 V,每块板上的电荷量;

(3)每一个电容器储存的能量。

图8.33

解　(1)第一支路,先C1、C3 并联,并联电容C13 =C1 +C3 =6 μF,再C13与C2、C4 串联,串联电容记为C′,则有

解得

第二支路,C5、C6 串联,串联电容记为C″,则有

解得

将AB 间的电容记为C,则

(2)C5、C6 串联,Q″=C″U=2 ×10 -6 ×200 =4 ×10 -4 C,

则

则

例2　有一孤立的平行板电容器,极板面积均S,平板间的距离为d。 设该电容器极板带电量为Q 时,极板间的电势差为U。 若再在两平行板间平行插入厚度为d0,且与电容器极板面积相同的金属平板,则外界要做的功为多少? 空气中的介电系数为ε0。

解　金属平板放入平行板电容器后,平板的上下表面出现等量的异种电荷,由于理想电容器无电场线的泄露,所以金属板上下表面和平行板电容器极板的电荷密度相等,金属平板上下的电场强度同原平行板电容器的电场相同,如图8.34 所示。 金属平板是等势体,其作用相当于“减小”了电容器的极板间距和电势差。

图8.34

起初,平行板电容器的电容可表示为

插入金属平板后电容变为

代入电容器的电容表达式得

功为负值的原因是:金属板放入极板间后发生静电感应现象,电容器对金属板产生的是引力做功,在将金属板放入平行板电容器的过程中,外界必须克服引力做功。 所以,外界需要对金属板做负功。

图8.35

例3　如图8.35 所示,四块相同的正方形金属平板1、2、3、4 从左至右依次等间距平行放置。 其中,第1 块平板带净电荷q1(q1 ＜0),第n 块上的净电荷为nq1,n =1,2,3,…。 现将第1块平板和第4 块平板接地,已知平板边长远大于相邻两块平板的间距且边缘效应可忽略。 问:

(1)从第1 块、第4 块平板流入大地的电荷量Δq1、Δq4 分别为q1 的多少倍?

(2)上述两板接地后,哪块板上的电势最低? 求该板电势值,将其表示为相邻两板之间的电容C 和q1 函数。

提示　金属平板上的净电荷可以认为均匀分布在平面上,则平板单位面积上所带的电荷被称为电荷的面密度σ;在本题中,当面密度为σ 时,则平板上的电荷在平板两侧空间形成的电场是一个垂直于平板方向的匀强电场,场强大小为E=2πkσ。

解　(1)任意一对相邻的平板都会构成一组平行板电容器,则一组电容器中相对的两个平面上所带的电荷等量异号,板间的电场为匀强电场;将1、4 两平板接地后,平板2、3 上的净电荷不发生改变,如图8.36 所示。

图8.36

平板2、3 上的净电荷可分别表示为

1、4 两平板间的电势差为零,有

联立①②③式求解,得

可见,在最初假定的电荷分布中,电场E3 的方向与实际情况相符,而电场E1 和E2 的方向刚好同实际的电场方向相反,则第1 块、第4 块平板流入大地的电荷量Δq1、Δq4 分别为

(2)经分析可知,第3 块平板的电势最低,由于第4 块平板接地,第3 块平板的电势φ3等于3、4 两平板间的电势差U34,有

平行板电容器的电容为

联立④⑤式求解可得

巩固提升

1.试讨论如图8.37 所示的混联电容器的耐压值。 图中标出的数据是各个电容器的电容值及额定电压值。(www.zuozong.com)

2.试问电源应接到如图8.38 所示线路中的哪两个点上,才能使电容相等的六个电容器都充电? 如果不能,请说明理由。

图8.37

图8.38

3.图8.39 中A、B 是同心薄壁导体球壳,D 是一导体球,A 与D 间利用穿过B 球壳上的绝缘导线相连,且B 球壳接地。 A 与D 的球心间的距离为l,a、b、d 分别为球A、B、D 的半径,而l≥a。 试求A 与大地间的有效电容。

图8.39

图8.40

图8.41

4.质量为m、带正电荷q 的小粒子从很远处沿垂直于极板方向飞向电容器,通过板中间的小孔,穿过电容器。 离电容器很远处粒子速度为v(图8.40)。 试求:

(1)粒子进入电容器内A 点时的速度;

(2)粒子即将从电容器B 点飞出去的速度。

已知电容器充电到电势差为U,两板距离比板的尺寸小得多,而电容器电荷量比q 大得多。

5.已知一半径为R 的球形肥皂膜上带有电荷量Q,肥皂液的表面张力系数为σ,试求:膜内外的压强差。

6.已知在内半径为R1、外半径为R2 的接地金属球壳内部均匀充满着空间电荷密度为ρ的介质(图8.41),求系统的静电能和中心点的电势。