求解复杂电场电场强度常用方法

1　微元法

例题　求一电荷线密度为λ 的半径为R 的均匀带电圆环中心轴线上的电场强度(图8.5)。

解　设中心轴上P 点距环心O 的距离为h,在圆环上任意取一微元Δl(Δl→0)可看成点电荷。Δl 的电荷量

Qi = λΔl

Δl 在P 点产生的电场为

图8.5

根据对称性可知,Ei 在y 方向的分量全部抵消,P 点的场强是所有微元在P 点产生的电场沿x 方向的矢量和。

则

2　等效法

图8.6

3　对称法

图8.7

解　由对称性和电场的叠加原理可知,应选B。

4　补偿法、负密度法

图8.8

5　高斯定理

(1)均匀带电球壳(电量为Q,半径为R)形成的电场(图8.9)

球壳外某点(r ＞R):在球壳外建立以O 为圆心,半径为r 的球面1为高斯面,则

图8.9

球壳内某点(r ＜R):在球壳内建立以O 为圆心,半径为r 的球面2为高斯面,则

(2)均匀带电球体(电荷体密度为ρ,半径为R)形成的电场(图8.9)

球体外(r ＞R)某点:在球体外建立以O 为圆心,半径为r 的球面1 为高斯面,则高斯面1内包含的电荷

根据高斯定理,则

球体内某点(r ＜R):在球体内建立以O 为圆心,半径为r 的球面2 为高斯面,则高斯面2内包含的电荷

根据高斯定理,则

典型例题

例1　如图8.10 所示,用等长的丝线分别悬挂两个质量、电荷量都相同的带电小球A、B,两线上端固定在同一点O,把B 球固定在O 点的正下方,当A 球静止时,两悬线夹角为θ。若在其他条件不变,只改变下列某些情况,能够保持两悬线夹角不变的方法是(　)。

A.同时使两悬线的长度都减半

B.同时使A 球的质量、电荷量都减半

C.同时使A、B 两球的质量、电荷量都减半

D.同时使两悬线长度和两球电荷量都减半

图8.10

图8.11

例2　一个绝缘的刚性细圆环水平放在平面上,半径为R,质量为m,只能绕竖直轴O 自由转动,圆环沿圆周均匀带电,电荷量为+Q,在A 点剪下一个小缺口,其空隙长度为l(l≪R)。 开始时圆环静止不动,现加一个匀强电场E,让E 既垂直于轴O,又垂直于OA,如图8.12所示(忽略剪下小缺口的质量),则(　)。

A.加电场后的瞬间圆环将沿逆时针转动

B.加电场后的瞬间圆环将沿顺时针转动

例3　有一均匀带电球体,球心在O 点,半径为R,电荷体密度为ρ,球体内有一球形空腔,空腔球心在O′点,半径为R′,OO′=a,如图8.13 所示,试求空腔中各点的场强。

图8.12

图8.13

解　将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电(电荷密度相等)的小球的集合,如图8.13 所示。 对于空腔中任意一点P,设OP=r1,O′P=r2,则大球激发的场强为

方向由O 指向P。

“小球”激发的场强为

巩固提升

1.设带有负电的小球A、B、C,它们的电量之比为1∶3∶5,三球均在同一直线上,A、C 固定不动,而B 也不动时,AB 与BC 的距离比值为(　)。

A.1∶5　B.5∶1　C.1∶ 5　D. 5∶1

图8.14

2.如图8.14 所示,一根用绝缘材料制成的轻弹簧,一端固定,另一端与一个质量为m、带电荷量为+q 的小球连接。 弹簧的劲度系数为k,小球开始静止于光滑的绝缘水平面上。 当施加水平向左的匀强电场E 后,小球开始做简谐运动,当小球经过O 点时加速度为零。 A、B 两点为小球能到达的最大位移处,那么以下说法中正确的是(　)。

A.小球的速度为零时,弹簧伸长qE/k(www.zuozong.com)

B.小球做简谐运动的过程中机械能守恒

C.小球做简谐运动的振幅为qE/k

D.小球由O 点到B 点的运动过程中,弹力做功的大小一定大于电场力做功的大小

3.如图8.15 所示,一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷,在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a、b、d 三个点,a 和b、b 和c、c 和d 间的距离均为R,在a 点处有一电荷量为q(q ＞0)的固定点电荷。 已知b 点处的电场强度为零,则d 点处电场强度的大小为(k 为静电力常量)(　)。

图8.15

图8.16

图8.17

4.半径为R、不导电的细圆环,如图8.16 所示。 所带电荷量的线密度为λ =λ0cos φ,式中λ0 为正常量,φ 为圆平面内的方位角,求环中心O 处的电场强度。

图8.18

5.两个非导体半球,如图8.17 所示,它们的半径分别为R 和r,带电荷量分别为Q 和q(均匀分布在半球面上),两半球的球心及最大横截面重合。 求两个半球之间相互作用力的大小。

6.在古时候,人们通常认为地球是扁平的。 想象地球真的不是一个半径为R 的球,而是一个厚度为H 的无限大的盘子(图8.18)。 如果要想体验与真正地球表面一样的重力加速度,那么需要的H 值是多大? (假定这两种模型中地球密度均匀而且相等)