道尔顿分压定律 - 高中物理培养学生创新能力途径探索

各种不同化学成分的理想气体组成的混合气体,当其中各组分子之间既无化学反应,又无其他相互作用时,混合理想气体的总压强等于气体各组成部分的分压强之和,即

这就是道尔顿分压定律。

假设容器内混合气体的各个组成部分的摩尔数分别为ν1,ν2,…,νn,则对任一部分都有

再将所有方程相加,得

即

pV=νRT

式中,p 为混合气体的总压强;ν 为混合理想气体的总物质的量。 由此可以看出,混合理想气体的状态方程与单一成分的理想气体的状态方程相似,只是其物质的量等于各组成部分的物质的量之和。

图7.5

道尔顿分压定律的适用条件是混合气体各成分的体积和温度必须相同。

典型例题

现同时缓慢升高两部分气体的温度,两部分气体开始都做等压膨胀。 设B 能上移距离l,线仍然未张紧,此时对应的温度T′满足

得

T′=2T0

此时,对A 部分气体有

得

这表明,在这之前线已张紧。 现设想升温至2T0 时刻B 上移且x ＜l(M、N 两部分气体未混合)则

且

同时对初态有

解得

这表明升温至2T0 时,M、N 两部分气体已混合,则

且

p0lS=νNRT0 =RT0

解得

x=4l

例2　在水平长管内的两个重活塞之间有ν mol 理想气体。 系统原来处于平衡状态,其中一个活塞开始以恒定速度v 向另一个活塞方向运动。 当此速度最大为多少时,两活塞在运动过程中它们之间距离的变化不超过1%? 气体温度保持T0,第2 个活塞质量为M。

解　选择这样的参考系,它与第1 个活塞一起以恒定速度v 运动。 于是问题情境变为:管子一边“关严”,而另一面是质量为M 的活塞,最初使它具有速度v(图7.6)。 据题意,气体温度恒定(这可以由在气体和重管壁之间良好热交换来确保),而体积变化小(总共1%),这可简化计算。

图7.6

对该部分气体列出初始状态方程

当活塞移动小量x 后,有

忽略小量得到

于是得到简谐振动方程——“回复力”与偏移成正比,其振动频率

对于简谐振动最大位移xm 与最大速度vm,有vm =ω0xm。

由此得出

图7.7

例3　底端封闭的薄壁圆柱的长度为L=1.50 m,竖直放置。 上面的部分和另一个半径大得多的圆柱相连,如图7.7 所示。 下面的圆柱距离其顶部h1 =380 mm①处有一个薄的轻质活塞。 在活塞上面是一层厚度为h +Δh 的汞,其中Δh≪h,活塞下面是压强为p1 = p0 + h1 的氦气,其中p0 =760 mmHg 为大气压。 由于两个圆柱容器的横截面积相差非常悬殊,即使活塞在整个细圆柱内移动,Δh 的变化也可以忽略。 在题目中的条件下,活塞处于平衡状态。 该平衡是否稳定? 是否还存在其他的平衡位置? 如果存在,活塞与细圆柱顶部的距离还有哪些hi 满足该条件? 这些平衡是否稳定? 我们可以假设在小的体积变化下,活塞下面氦气的温度保持不变。

注:①这里是说,解关于h 的方程时,不同解用h1、h2 等表示,h1 并非独立于h 的不同变量。

解　(1)对活塞下方封闭气体,在等温变化时有p1(L -h1) =p2(L -h2),其中p1 =p0 +h1,p2 =p0 +h2,代入解得h2 =360 mm。

(2)对活塞上方的点而言,其压强p=p0 +h,在h 有变化量dh 时,相应压强的变化dp1 =dh.对活塞下方的气体,由于p(L-h) =C,所以(L-A)dp2 -pdh=0,即

如果dh 增加,但dp2 ＞dp1,则为稳定平衡;如果dh 增加,但dp2 ＜dp1,则为不稳定平衡。(www.zuozong.com)

巩固提升

1.如图7.8 所示,在一根上端开口、下端封闭的竖直玻璃管内,下段有60 cm 长的水银柱,中段有18 cm 长的空气柱,上段有45 cm 长的水银柱。 水银面恰与玻璃管口相平。 已知大气压p0 =75 cmHg,若使玻璃管绕其下端在竖直平面内缓慢地转一周(设温度不变) ,问管中空气柱的长度变为多少?

图7.8

图7.9

2.如图7.9 所示,一端封闭、一端开口的均匀玻璃管中,中间有一段总长度为30 cm 的水银柱。 图示状态时气体温度为-73 ℃、外界大气压为75 cmHg,在定压情况下,试问:欲使管中水银全部溢出,气体温度应升至多高? (水银柱由于加热的热胀冷缩、玻璃管内径的热胀冷缩均不考虑。)

3.如图7.10 所示,把自由长度l0 =0.500 m 的螺旋形弹簧上端固定,下端与充满空气的容器相连接。 塞子质量M=0.400 kg,气体是密封的,塞子横截面积为8.00 ×10 -4m2。 塞子能在圆筒内部光滑地上下移动。 空气为理想气体,弹簧质量忽略不计。 在容器内外压强均为1.0 ×105Pa 时,弹簧长度l =0.600 m,这时容器内空气体积V =2.00 ×10 -3m3,温度T =288 K。 现维持气体温度不变,在塞子上加砝码,使弹簧伸长2.5 ×10 -2m。

(1)试问该砝码的质量是多少?

(2)现改变气体温度(砝码未取走),使气体在弹簧长度为0.600 m 时达到平衡,试问这时气体的温度T″应是多少?

(3)若气体温度仍维持288 K 不变,砝码也未取走,但把相同温度的空气从外部补充到容器中,使弹簧长度为0.600 m 时气体达到平衡,则这时气体的质量是原来的多少倍?

4.如图7.11 所示,一薄壁圆钢筒竖直放置,导热活塞K 将筒隔成两部分,两部分的总容积V=8.31 ×10 -2m3。 在筒顶轻轻放置一质量与活塞K 相等的铅盖(接触处无漏气缝隙)。当筒内温度t=27 ℃时,上方有νA =3.0 mol的理想气体,下方有νB =0.400 mol 的理想气体,且VB =V/10。 现对气体缓慢加热,当V′B =V/9 时,筒内气温t′是多少? 已知筒外大气压强p0 =1.04 ×105Pa。

图7.10

图7.11