高中物理学：驻波和多普勒效应解析

1　驻波

现在来讨论两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时所产生的叠加情形。 如图6.9 所示的装置,左边放一电振音叉,音叉末端系一水平的细绳AB,B 处有一尖劈,可左右移动以调节AB 间的距离。 细绳经过滑轮P 后,末端悬一重物m,使绳上产生张力。音叉振动时,绳上产生波动,向右传播,到达B 点时,在B 点反射,产生反射波向左传播。 这样入射波和反射波在同一绳子上沿相反方向传播,它们将互相叠加。 移动尖劈至适当位置,结果形成图6.9 所示的波动状态。

图6.9

从图6.9 可以看出,由上述两列波叠加而成的波,从B 点开始被分成好几段,每段两端的点固定不动,而每段中的各质点则做振幅不同、相位相同的独立振动。 中间的点,振幅最大,越靠近两端的点,振幅越小。 而且还发现,相邻两段的振动方向是相反的。 此时绳上各点,只有段与段之间的相位突变,而没有振动状态或相位的逐点传播,即没有什么“跑动”的波形,也没有什么能量向外传播,我们称这种波为驻波。 驻波中始终静止不动的那些点称为波节,振幅最大的各点称为波腹。

设x=0 点的振动为y=A cos ωt,则传播方向相反,而振动方向、频率和振幅都相同的两列简谐波便分别为

合成波为

振幅为零处实际上不能形成振动,故称为波节,波节的位置为

2　多普勒效应

当波源或者接受者相对于波的传播介质运动时,接收者会发现波的频率发生变化的现象称为多普勒效应。 多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种情况(在讨论中注意:波源的发波频率f 和波相对介质的传播速度v 是恒定不变的)。

(1)只有接收者相对介质运动(如图6.10 所示)

设接收者以速度v1 正对静止的波源运动。

图6.10

显然,在单位时间内,接收者接收到的总的波的数目为

这就是接收者发现的频率f1,即

显然,如果v1 背离波源运动,只要将上式中的v1 代入负值即可。 如果v1 的方向不是正对S,只要将v1 正对S 的分量求出即可。

(2)只有波源相对介质运动(如图6.11 所示)

图6.11

设波源以速度v2 正对静止的接收者运动。

如果波源S 不动,在单位时间内,接收者在A 点应接收f 个波,故S 到A 的距离

而每个波在介质中的传播速度仍为v ,故“被压缩”的波(A 接收到的波)的频率变为

当v2 背离接收者,或有一定夹角的讨论,类似(1)情形。

(3)当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v1(相对介质速度)运动,波源也正对接收者以速度v2(相对介质速度)运动,我们的讨论可以在(2)情形的过程上延续

关于速度方向改变的问题,讨论类似(1)情形。

3　振动与波的区别和联系

(1)振动图像和波形图的区别

常见的波形图和振动图像的形状都是正弦式的,二者的区别在于坐标轴的含义不同:波形图的横坐标是位置,而振动图像的横坐标是时间。 从物理意义的角度:波形图是为众多质点的运动拍下了一张照片,而振动图像是对单个质点的运动拍摄了一部电影。

(2)振动与波的联系

机械波的形成是机械振动在弹性介质中的传播,机械波传播时每个质点都在重复前面质点的机械振动。 已知机械波的传播方向,通过波形图能够了解到每个质点的振动情况,即“上下坡法”:将波形图看成凹凸不平的山路,沿着机械波传播的方向来看,位于上坡段的质点,其振动方向一律向下;位于下坡段的质点,其振动方向一律向上。

典型例题

例1　物理情形:一平面简谐波向-x 方向传播,振幅A=6 cm,圆频率ω=6π rad/s ,当t= 2.0 s 时,距原点O 为12 cm 处的P 点的振动状态为yP =3 cm,且vP ＞0,而距原点22 cm处的Q 点的振动状态为yQ =0,且vQ ＜0。 设波长λ ＞10 cm,求振动方程,并画出t =0 时的波形图。

解　这是一个对波动方程进行了解的基本训练题。 简谐波方程的一般形式已经总结得出,在知道A、ω 的前提下,加上本题给出的两个特解,应该足以解出v 和φ 值。

由一般的波动方程

说明:如果狭义地理解为波源就在坐标原点的话,题目给出特解是不存在的。 因为波向-x 方向传播,所以,此处的波源不在原点。 同学们自己理解:由于初相φ 的任意性,上面的波动方程对波源不在原点的情形也是适用的。

参照简谐运动的位移方程和速度方程的关系,可以得出上面波动方程所对应质点的速度(复变函数)

代t=2.0 s 时P 的特解,有

即

代t=2.0 s 时Q 的特解,有

即

所以波动方程为

且波长

图6.12

解　因为不知道甲、乙两波源的位置,设它们分别在S1 和S2 两点,距A、B 分别为a 和b,如图6.13 所示。 它们在A、B 之间P 点(坐标为x)形成的振动分别为

这就是两波的波动方程(注意:由于两式中a、b、x 均是纯数,故乙波的速度矢量性也没有表达)。

图6.13

当甲波在A 处(x=0)为波峰时,有

结合③④两式,得到b-a=2。

所以,甲波在任意坐标x 处的位相

乙波则为

所以有x=13 -4k,其中,k=0,±1,±2,…

在0 ～20 的范围内,x=1,5,9,13,17 m。

答:距A 点1 m,5 m,9 m,13 m,17 m 的五个点因干涉始终处于静止状态。

思考:此题如果不设波源的位置也是可以解的,请读者自己尝试一下。

(后记:此题直接应用波的干涉的结论——位相差的规律,如若不然,直接求y甲和y乙的叠加,解方程将会困难得多。 此外,如果波源不是“同方向”振动,位相差的规律会不同。)

例3　两人各执长为l 的绳的一端,以相同的角频率ω 和振幅A 在绳上激起波动,右端的人的振动比左端的人的振动相位超前φ,试以中点为坐标原点描写合成驻波。 由于绳很长,不必考虑反射,绳上的波速设为u。

解　不妨设左端的振动为y1 =A cos ωt,则右端的振动为y2 =A cos (ωt+φ)。 设右行波的运动方程为

行波的运动学方程为

故

故

于是

合成波

当φ=0 时,x=0 处为波腹;当φ=π 时,x=0 处为波节。

例4　两端开口的长为l 的风琴管可用来测量亚音速风洞中空气的马赫数v/c,其中v 是空气的流动速度,c 是静止空气中的声速。 观察到当风琴管固定在风洞中时与周期为T 的基波产生共鸣,风琴管置于静止空气中时与周期为T0 的基波产生共鸣。 若v/c=1/2,求T/T0。

解　波速都是以波在其中传播的介质为参考系而言的。 风洞中的空气相对地面以速度v 运动。 以流动的空气为参考系,相对风洞(即地面)静止的风琴管以速率v 向着与空气相对地面运动的反方向运动。 以流动的空气为参考系,波源不动,设其发出频率为f 的波。 风琴管相对风洞是静止的,相对流动的空气以速度v 向着波源运动。 根据多普勒效应,风琴管接收到的频率

其中,c 为空气中的声速。 这表明,风洞中流动空气中频率为f 的波,相对风琴管来说,相对于空气静止时频率为f′的波。 波长的关系是

对于两端开口的风琴管,风琴管产生共鸣时,管子的长度等于基波的半个波长。 设在静止空气中与风琴管共鸣的基波波长为λ0,在流动空气中与风琴管共鸣的基波波长为λ′,则

可见λ′=λ0。

注意到波速与空气是否流动无关,得λ0 =cT0,λ=cT。

根据以上各式,可解得

注:解答本题的关键是要明确风琴管产生共鸣的机理。 风琴管产生共鸣时,管内形成驻波,开口处为波腹。 因此,两端开口的风琴管共鸣时,管子的长度等于基波的半个波长。 读者可以思考,如果风琴管仅一端(向着风洞的一端)开口,结果会有什么不同。

巩固提升

1.如图6.14 所示,实线是沿x 轴传播的一列简谐横波在t =0 时刻的波形图,虚线是这列波在t=0.2 s 时刻的波形图,已知波速是0.8 m/s,则(　)。

A.这列波的周期是0.2 s

B.这列波向左传播了四分之一波长(www.zuozong.com)

C.这列波的传播方向为x 轴的正方向

D.这列波的传播方向一定为x 轴的负方向

图6.14

2.如图6.15 所示,在平面xOy 内有一列沿x 轴传播的简谐横波,频率为2.5 Hz。 在t=0时,P 质点位于平衡位置,且速度方向向下;Q 质点位于平衡位置下方的最大位移处。 则在t=0.35 s时,P、Q 两质点的运动情况为(　)。

A.位移大小相等、方向相反

B.速度大小相等、方向相同

C.速度大小相等、方向相反

D.加速度大小相等、方向相反

图6.15

图6.16

(1)试问此波是沿x 轴正方向传播,还是沿x 轴负方向传播? (设λ ＞6 cm)

(2)试求波长λ 和波速v。

图6.17

5.一平面简谐波向-x 方向传播,振幅A=6 cm,圆频率ω=6π rad/s。 当t =2.0 s时,坐标为+12 cm 处的P 点的振动状态为yP =3 cm,且vP ＞0;而坐标为+22 cm 处的Q 点的振动状态为yQ =0,且vQ ＜0。 已知波长λ ＞10 cm,求这列波的波动方程。

6.在水面上有两木块随着水波做反相位的振动。 观察发现,木块连线沿着水波的行进方向,两木块相距1 m,振动周期为1.1 s,求水波的波速。

7.一固定的超声波波源发出频率为ν0 =100 kHz 的超声波。 当一汽车向超声波波源迎面驶来时,在超声波波源所在处接收到从汽车反射回来的波,利用拍频装置测得反射波的频率为110 kHz。 设声波在空气中的传播速度为u=330 m/s,试求汽车的行驶速度。

8.一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子(频率ν=1 200 Hz)。 甲、乙、丙距离广场中央都是100 m 远,且分别在广场中央的南、东、北面,第四个伙伴丁,则从西面乘车以40 m/s 的速度赶来。 忽然有一阵稳定的风由南向北吹来,速度为10 m/s,如图6.18 所示,求甲、乙、丙、丁四人听到哨音的频率各是多少。 (已知当时声速为320 m/s)

图6.18

9.如图6.19 所示,两列相干平面简谐波沿x 轴传播。 波源S1 与S2 相距d=30 m,S1 为坐标原点。 已知x1 =9 m 和x2 =12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而使振动的振幅最小的点。 设S2 的初相超前,求:

(1)两波的波长;

(2)两波源的最小相位差。

图6.19

参考答案与解析