高中物理培养学生创新能力：机械能守恒定律解析

对于一个系统来说,如果外力(除重力或引力、弹力外)和非保守内力都不做功,由功能原理可知,系统的总机械能保持不变,这就是系统的机械能守恒定律。 该定律只适用于惯性系,它同时必须选同一惯性系。 在机械能守恒的系统中,动能和势能可以相互转化,这种转化是以通过重力、弹性力等保守力做功来实现的。

典型例题

例1　两个质量分别为m1 和m2 的重物挂在细绳的两端(m1 ＞m2),绳子绕过一个半径为r 的滑轮,在滑轮的轴上固定了四个长为L、分布均匀的轻辐条,辐条的端点固定有质量为m 的重球,重物、重球从如图5.16 所示位置由静止开始做匀加速运动,求m1、m2 运动的加速度。 设轴的摩擦力忽略不计,线及滑轮的质量忽略不计,线与滑轮间不发生滑动。

图5.16

解法一　设重物的加速度为a

对m1

m1g-T1 =m1a

对m2

T2 -m2g=m2a

对轻滑轮

T1 -f-T2 =0

设滑轮的角速度为β,则

a=rβ

对四个重球,根据

M=Iβ

I=4mL2β

联立以上各式解得

解法二　对重物、重球、轻滑轮、轻辐条组成的系统,机械能守恒,考虑到四个重球位置的对称性,四个重球的重力势能不变。 设重物下降h,速度为v,重球速率为v′,则

联立以上各式解得

注:本题的解法二提供了一种利用能量关系求加速度的方法。

例2　长l=0.1 m 的轻杆两端各固定一个同样的小重球组成“哑铃”,将它竖直地立在墙角,如图5.17 所示。 现使上方小球获得一个水平速度v0 =1 m/s,此时下球不动。 求上球碰地前的速度(重力加速度取g=9.8 m/s2)。

由此可知,从一开始运动起杆不是被压缩而是被拉伸,这意味着下球没有压竖直墙壁,哑铃沿水平面自由运动。

与地板碰撞前的瞬间哑铃是水平的,因而两球在水平方向速度相同。 由两球水平方向动量守恒,得

图5.17

原下球速度总是水平的,设上球的竖直分速度为v2y。 根据机械能守恒定律,有

由此得

最后,在碰地前上球总速度为

图5.18

解　A 柱下落的同时,B、C 柱分别向左、右水平运动,此过程中系统的机械能守恒,水平方向的动量守恒,A 柱下落某一距离后即与B、C 柱分离,此后A 柱将仅受重力作用下落至触及桌面。

本题关键在于找出A 柱与B、C 柱分离的条件,并求出分离瞬间A 柱的位置及下落速度。 设A 柱与B、C 柱分离瞬间,A、B 中心连线与竖直方向的夹角为a,如图5.18(b)所示,则A 柱下落的距离为

设此瞬时A 柱下落的速率为vA,B、C 柱的速率分别为vB、vC,由水平方向动量守恒和系统机械能守恒得

解得

在A 与B 分离前,A 与B 的中心间距保持不变(恒为2r),所以vA、vB 在A、B 连心线上的投影应当相等,即

在AB 分离的瞬时,B 对A 的弹力为零,A 相对B 做圆周运动,则由牛顿第二定律得

由此得

A 离开B、C 以后初速度做竖直下抛运动,触及桌面时的速度为(www.zuozong.com)

巩固提升

1.在水平固定放置的光滑细棒上穿入A、B 两个刚性小球,两球相距为l,然后用两根同为l 的轻质细线分别与C 球连接。 用手握住A、B 球使三球静止在如图5.19 所示的位置上,而后同时释放A、B 球。 已知A、B、C 球质量相同,试求A、B 球相碰前,它们共同的速度大小v与C 球到细棒的距离h 之间的函数关系。

图5.19

图5.20

2.如图5.20 所示,质量为m 的物体沿着光滑斜槽向下运动,斜槽过渡是半径为r 的圆周,在最低点与质量为m′的物体发生弹性碰撞,若碰后m′脱离圆周轨道时的高度为H,m 沿槽上升又下滑,随m′在同一地点脱轨,摩擦不计,问m 从多高处开始运动。 两物体的质量比是多少?

图5.21

3.如图5.21 所示,质量为m 的长木板静置在光滑的水平面上,在侧面固定一劲度系数为k 且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一不可伸长的细绳连接墙上,且绳张紧,能承受最大拉力为T,让一个质量为m,初速度为v0 的小滑块在长木板上无摩擦地对准弹簧向左运动。问:(1)在什么情况下绳会被拉断? (2)绳被拉断后,长板所能获得的最大加速度是多少? (3)滑块最后离开长板时,相对地面速度恰为零的条件是什么?

4.如图5.22 所示质量为m 的两小球系于轻弹簧的两端,并置于光滑的水平面上。 当弹簧处于自然状态时,长为a,其劲度系数k。 现两球同时受到冲力作用,各获得与连线垂直的等大反向的初速度。 若在以后的运动过程中弹簧的最大长度b=2a,求两球的初速度v0。

图5.22

图5.23

5.两个质量相同的小球A、B,用长为2a 的无弹性且不可伸长的轻绳连接。 开始时,A、B位于同一竖直线上,B 在A 的正下方,相距为a,如图5.23 所示,现给A 一个水平初速度v,同时静止释放。 不计空气阻力,且设绳一旦伸直便不再回缩,问经过多长时间,A、B 恰好第一次位于同一水平线上?