角动量守恒定律-高中物理培养学生创新能力途径探索

如果质点所受的力对于某根轴线的力矩为零,则质点对于该轴线的角动量不随时间变化。 通常将这称为质点对于该轴线的角动量守恒定律。在质点固结于轴线的情况下,角动量守恒定律为

L=mR2ω=常量

这意味着质点绕转轴转动的角速度ω 不变。

一般说来,质点并不固结于轴线,角动量守恒定律为

L=mrv sin α=mrvt =mrω2 =常量

由上式可见,在质点所受的力对于轴线的力矩为零的条件下,如质点向轴线靠近,r 减小,则它围绕轴线运动的角速度加快,反之则减慢。 例如,在舞蹈表演或滑冰表演中,演员常绕自身的轴线旋转,演员将两手合抱于胸前,旋转就加快起来,演员将两臂伸展出来,旋转就减慢,这正是利用了角动量守恒定律。

下面给出外力对定点力矩之和为零的三种情况:

①体系不受外力作用。 但是一般来讲,当质点系受外力作用时,即使外力的矢量和为零,外力矩的矢量和未必为零,力偶就是这种情况。

②所有的外力通过定点,这时体系所受外力的矢量和未必为零,但每个外力的力矩皆为零。

③每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。 例如,对重力场中的质点系,作用于各质点的重力对质心的力矩不为零,但所有重力对质心的力矩的矢量和却为零。

典型例题

例1　如图4.35(a)所示,质量为m 的小球B 放在光滑的水平槽内。 现以一长为l 的细绳连接另一质量为m 的小球,开始时细绳处于松弛状态, A 与B 相距为l/2,小球A 以初速度v0 在光滑的水平地面上向右运动。 当A 运动到图示位置时,细绳被拉紧。 试求B 球开始运动时速度vB 的大小。

图4.35

解法一　当细绳被拉紧瞬间,由题设条件可知细绳与导轨方向的夹角θ =30°,如图4.35(b)所示。

而A、B 两球在沿绳子的方向上的速度均为

在垂直于细绳方向上A 球的速度变为

在沿A 初速度方向上两球不受外力,动量守恒,有

得

其速度沿槽方向。

解法二　设绳拉紧的瞬间,小球A 的速度为vA,小球B 的速度为vB。 在绳拉紧时,小球A 相对于小球B 的运动时是以B 为中心的圆周运动,其相对速度设为v′,与细绳垂直,如图4.35(c)所示。 因而,此时小球A 的速度是vA =v′+vB。

取坐标系如图4.35(c)所示,则有

由图中几何关系,知θ=30°。

小球在运动过程中,在y 方向系统不受外力作用,动量守恒,则有

mv0 =mvAy +mvB

小球A 对小球B 原所在位置的角动量守恒,则

联立以上各式解得

其速度沿y 轴方向。

例2　一质量m = 1.20 ×104 kg 的登陆飞船,在离月球表面高度h=100 km 处绕月球做匀速圆周运动。 飞船采用如下登月方式:当飞船位于如图4.36 所示的A 点时,它向外侧(即沿月球中心O 到A 的位矢方向)短时间喷气,使飞船与月球相切到达B点,且OA 与AB 垂直。 试求飞船到达月球表面时的速度。 已知月球的半径RM =1 700 km;在飞船登月的过程中,月球的重力加速度可视为常量gM =1.62 m/s2。

解　如图4.36 所示,设飞船在A 点的速度为v0,由万有引力定律和牛顿定律有

图4.36

式中,M 为月球的质量。

在飞船即将喷气时,其质量由m′和燃气Δm′两部分组成,其中飞船的剩余部分m′在A点和B 点只受到引力的作用,故角动量守恒

得

图4.37

解　如图4.37(b)所示,系统水平方向动量守恒

机械能守恒

系统绕轻杆系统质心的角动量守恒

其中

解得

例4　若上题中三球的质量相同,均为m,且θ=45°。 当运动小球以v0 的速率与连在杆上的某一球发生弹性碰撞后,沿垂直于原速度方向运动,如图4.38(a)所示。 试求:

(1)碰撞后,运动小球的速度vf;

(2)碰撞后,轻杆系统绕其质心转动的角速度ω。

图4.38

解　如图4.38(b)系统水平方向动量守恒

机械能守恒

系统绕轻杆系统质心的角动量守恒(www.zuozong.com)

解得

巩固提升

1.宇宙飞船距火星表面H 高度处做匀速圆周运动,火星半径记为R。 今设飞船在极短的时间内向外侧点火喷气,使飞船获得一径向朝里的分速度,其大小为原来速度的a 倍,因a很小,所以飞船新轨道不会与火星表面交会。

(1)试求飞船新轨道近火星点高度h1 和远火星点高度h2;

(2)设飞船原来的远行速度大小为v0,使计算新轨道运行周期T。

图4.39

图4.40

3.如图4.40 所示,质量为M、长为l 的均匀细杆静置于光滑的水平面上,可绕过杆中心O 的固定铅垂轴自由转动。 一质量为m 的子弹以v0 的速度自杆的左方沿垂直于杆的方向射来,嵌入杆的上端A 点,求子弹嵌后杆的角速度。

4.如图4.41 所示,一根长为L 的轻质刚性棒的两端分别连着质量为m 的质点。 现将此棒放在光滑的水平桌面上并用一个质量为m、速度为v0 的质点与棒端的一个质点相碰。 已知v0 的方向与棒的夹角为45°,并设碰撞为弹性碰撞。 碰撞之后,质点沿原直线返回,试求碰撞之后棒的角速度。

图4.41

5.质量均为m 的A、B 小球用一刚性质量不计的杆连接置于光滑水平面上,一质量为2m 的小球D 以速率v0、方向与杆垂直,与右端小球B 发生完全弹性正碰,选坐标系如图4.42所示,以碰撞时为计时零点,求t 时刻A、B、D 球的位置。

图4.42

参考答案与解析