质点角动量定理：对学生创新能力的培养有何启示？

如图4.25 所示,设质点m 沿与某固定点O 相距为d 的直线运动,在某一时刻,质点与O的距离为x,速度为v,v 与x 的夹角为O。 质点不受外力作用时,物体运动方向与速率均不变;r 和O 虽然不断变化,但r sin α=d 不变,因此质点相对于O 点的角动量。 L =rP sin α=Pd 始终保持不变。 现将动量P=mv 分解为沿r 方向的分量Pr =mvr 和与r 垂直方向的分量Pt =mvt,角动量L 为

L=rP sin α=rmv sin α=rmvt =rPt

图4.25

图4.26

上式表明,角动量只与r 和Pt 有关。 如果质点受到位于r 和P 所在平面的内的外力F作用,如图4.26 所示,并将此力分解为沿r 方向的分力Fr 和垂直于r 方向的分力Ft,在一段极短的时间间隔Δt 中,Fr 的冲量FrΔt 将使质点沿r 方向的动量增加Pr。 由上面的分析可知,这个增量对质点角动量没有影响。 与此同时,Ft 的冲量FtΔt 将使质点沿垂直于r 方向的动量增加ΔPt =FtΔt,因而角动量的增量

ΔL=rΔPt =rFΔt

两边除以Δt,并令Δt→0,得

典型例题

例1　如图4.27(a)所示,求均匀薄方板对过其中心O 且与x 轴成θ 角的轴C 的转动惯量(轴C 在xOy 平面内)。

图4.27

解法一　如图4.27(b)所示为待求转动惯量的正方形薄板,设其边长为l,总质量为m,对轴的转动惯量为I=kml2。 过中心O 将板对称分割成四个相同的小正方形,各小正方形对过各自质心且平行于C 的轴的转动惯量为

即

整理可得

而由几何关系,可得

故有

解得

解法二　由垂直轴定理,有

故

而

即

得

故

解法三　该平面对x 轴的转动惯量

而

故

解法四　由垂直轴定理,有

故

而

解得

所以

图4.28

例2　如图4.28 所示,匀质圆轮A 的质量为M1,半径为R1,以角速度ω0 绕水平杆的端点O 转动。 此时,将轮放置在质量为M2,半径为R2 的另一匀质圆轮B 上,B 轮原来静止,但它可绕其几何轴自由转动。 放手后,由于两轮间的摩擦,B 轮也跟着转动,设两轮间的摩擦系数为μ,问从A 轮放在B 轮上到两轮之间没有相对滑动为止,经过了多少时间?

解　设两轮间的摩擦力为f,则f=μN,而N=M1g,所以两轮受到摩擦力距,根据转动定律,有

即

经时间t 后,两轮的角速度分别为ω1和ω2,于是有

当两轮无相对滑动时,v1 =v2,即

由以上各式可解得

例3　在光滑水平面上放置一质量为m、长为l 的质量均匀分布细杆。 此杆由长度相等的两段构成,中间用光滑铰链连接起来(即两段在连接点可以弯折但不能分离),如在杆的一端施以垂直于杆的水平冲量I,如图4.29(a)所示,试求细杆获得的动能。

图4.29

解　杆的左端在受到冲量I 作用的同时,还受到右段所施冲量I′的作用。 由牛顿第三定律,可知右段也同时受到左段所施冲量I′的作用。 两个I′的方向相反,如图4.29(b)所示。

由质心运动定理和角动量定理,对杆的左段,有

对杆的右段,有

由于连接点的速度相等,因而有

联立以上方程,解得

其中,vC2与ω2 的负号表明它们实际的方向与图示假设方向相反。

细杆获得的动能

注:此题所求动能的方法是利用了柯尼希定理,后面5.6 节中会讲到。 下个例题中也会用到。

例4　一质量均匀的圆环静止在墙角上,环心刚好在墙角正上方,如图4.30(a)所示。已知环与墙角之间的摩擦因数为μ,若由此位置轻轻向右推一下圆环,圆环便以墙角为轴顺时针转动,确定圆环转过多大角度时开始相对墙角滑动。

图4.30

解　如图4.30(b)所示,设圆环转过的θ 角时,环心的速度为v,则

解得

又

则质心(环心)做圆周运动的切向加速度

根据质心运动定律,有

解得

由滑动条件,知

即

解得

巩固提升

2.如图4.32 所示,两实心圆柱轮绕各自的质心转动,且两轴相互平行,它们的半径分别为R1 和R2,质量分别为m1 和m2,两轮同方向转动,角速度分别为ω1 和ω2。 移近两轮使它们保持接触,试求稳定后的角速度。(www.zuozong.com)

图4.31

图4.32

3.如图4.33 所示,一个质量为6 kg 的物体放在倾角为30°的斜面上,斜面顶端装有一滑轮。 跨过滑轮的轻绳一端系于该物体上,并与斜面平行,另一端悬挂一个质量为18 kg 的砝码。 滑轮质量为2 kg,其半径为0.1 m,物体与斜面间的动摩擦因数为0.1,试求:

(1)砝码运动的加速度;

(2)绳中张力(假设滑轮是质量均匀分布的圆盘)。

4.如图4.34 所示,一实心圆柱体在倾角为θ 的斜面上做纯滚动。 设动摩擦因数为μ,试求使该物体做纯滚动时μ 的取值范围。

图4.33

图4.34