物理实验：完全弹性碰撞与非完全弹性碰撞

碰撞是指物体间经过极短时间的相互作用而使各自动量发生明显变化的过程。 据碰撞速度方向的不同可分为正碰(碰撞前后速度在同一直线)和斜碰(不在同一直线上)。 均可转化为一般模型加以解决(斜碰可用一系列分量式解决)。

1　完全弹性碰撞

碰撞前后无机械能损失,有

式中,m1、m2 分别为两体质量,v10、v20和v1、v2 分别为两体碰撞前后的速度。

解得

以上可做拓展讨论:

v20 =0 时

特殊情况时,有v10≠0,m1 =m2,v1 =0,v2 =v10

v10≠0,v20≠0,利用上述公式,代入特殊情况:碰后两物体速度交换。

2　非完全弹性碰撞

不难得到:0≤e≤1。

当e=0 时,为完全非弹性碰撞;

当0 ＜e ＜1 时,为非完全弹性碰撞;

当e=1 时,为完全弹性碰撞。

根据以上定义,又可得到

机械能损失

典型例题

图4.6

解　B 滑下时,根据水平方向动量守恒,A 一定会向左运动。 设下滑到某处时,如图4.6(b)所示,B 的坐标为(x2,y2),A 的位置用圆心C 的坐标(x1,0)表示,A、B 沿水平方向的速度分别为vA 及vB,则从动量在水平方向守恒可得mvB +MvA =0,此时,C、B 的水平方向坐标分别为x1、x2,由于两物体的水平速率之比在任何时刻都相同,所以其水平方向的位移之比等于速率之比,从而mx1 +Mx2 =0。

在A 脱离B 以前,由图4.6(b)中几何关系可知

消去θ 及x1,得

图4.7

例2　一块足够长的木板放在光滑的水平面上,如图4.7 所示。 在木板上自左向右放有序号为1,2,3,…,n 的木块,所有的木块的质量均为m,与木板间的动摩擦因数均为μ。 开始时,木板静止不动,第1,2,3,…,n 号木块的初速度分别为v0,2v0,3v0,…,nv0,方向均水平向右,木板的质量与所有木块的总质量相同,最终所有木块与木板以共同的速度运动。 求:

(1)第n 号木块从开始运动到与木板速度刚好相等时的位移;

(2)第(n-1)号木块在整个运动过程中的最小速度。

解　(1)第n 号木块的速度最大。 当第n 号木块与木板的速度相等时,所有木块与木板的速度均相等,该系统在水平方向上不受外力作用,动量守恒,则有

解得

木块在木板上运动时,所受到的滑动摩擦力是不变的,所以其加速度是恒量。 木块做匀变速运动,由牛顿第二定律有

μmg=ma

即

a=μg

由匀变速运动的规律,可得

(nv0)2-v2=2asn

即

(2)当第(n-1)号木块速度最小时是相对于长木板相对静止,而第n 号木块与第(n -1)号木块在此以前的过程中受到摩擦力的冲量相同,故它们动量改变量相同。 设第n 号木块的最小速度为vn-1,木块在达到此速度以前为减速运动,后为加速运动,且此速度为其与木板静止时的速度,此时只有第n 号木块相对于木板运动,由动量守恒定律得

在此过程中,第n 号木块与第(n -1)号木块在木板上运动的时间相同,所受摩擦力相同,故速度的改变量相同,有

nv0 -vn =(n-1)v0 -v n-1

由以上两式可得

(1)在绳子变成拉紧状态后瞬间每个球的速度;

图4.8

(2)在绳子变成拉紧状态时,系统损失的动能。

解　(1)由于B、C 两球质量相等,故碰撞(正碰)前后两者交换速度,即C 静止,B 以速度v 运动。 当B 运动到绳张紧前瞬间,沿绳方向的分速度为

绳张紧后瞬间,A、B 两球沿绳方向速度相等,即

得(www.zuozong.com)

B 球的另一速度分量v2 不变,故

方向与AB 夹角

(2)系统动能损失

巩固提升

1.长为2l 的轻绳,两端各系有一质量为m 的小球,中点系有质量为M 的小球,三球在一条直线上且静止于光滑水平桌面,绳处于伸直状态,如图4.9 所示。 现对小球M 施以瞬时冲量,使其获得与绳垂直的初速度v0,求:

(1)两小球m 相碰时绳中张力T;

(2)若从小球M 开始运动到两小球相碰时的时间为t,求在此期间小球M 经过的距离s。

图4.9

图4.10

2.三个质量分别为3m、2m、m 的小球A、B、C 由两根长度相等的细绳相连,如图4.10 所示,放置在光滑水平面上。 三个小球正好位于正三角形的三个顶点位置,且细绳正好被拉直。 现使小球A 以速度v0 沿平行于BC 的方向运动,求细绳刚拉紧时小球C 的速度。

3.如图4.11 所示,质量分别为m1、m2 的两个小球系在长为l 的不可伸长的轻绳两端,放置在光滑的水平面上,初始时绳是拉直的。 在桌面上另有一质量为m3 的光滑小球,以垂直于绳的速度u 与小球m1 对心正碰。 若恢复系数为e,求碰后瞬时绳中的张力。

图4.11

图4.12