高中物理：冲量、动量、动量定理

质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点系所受的合外力,即∑Fi = maC,叫做质点系的质心运动定理,也就是说,内力不会影响质心的运动状态。

典型例题

例1　如图4.1(a)所示,质量分别为m1、m2 和m3 的三个质点A、B 和C 位于光滑的水平桌面上,用已拉直的、不可伸长的柔软轻绳AB 和BC 连接,∠ABC=π-α,α 为一锐角。 现有对C 作用一沿BC 方向的冲量I,求质点A 开始运动时的速度。

图4.1

解法一　(质点动量定理,自然分解)

设外力冲量I 作用的瞬间内,AB 和BC 两条绳内出现的张力对其两端质点作用的冲量大小分别为I1 和I2;设质点A 启动速度为v,显然v 的方向应沿A 指向B;设质点C 的启动速度为v′,显然其方向应沿由B 指向C。

对质点A

I1 =m1v-0

质点B 运动的速度沿AB 方向的分量也为v;

对质点B,在AB 方向

I2cos α-I1 =m2v-0

对质点B,其运动速度沿BC 方向的分量也为v′;在BC 方向

I2 -I1cos α=m2v′-0

对质点C

I-I2 =m3v′-0

联立解得

解法二　(质点组动量定理)

如图4.1(b)所示,设冲击后A、B、C 的速度分别为vA、vB、vC。

对A、B、C,根据质点组的动量定理,得沿BC 方向

I=(m1vAcos α+m2vBcos θ+m3vC) -0

垂直BC 方向

0 = ( -m1vAsin α + m2vBsin θ) -0

又沿绳方向速度相等,有

对AB 绳

vA =vBcos(α+θ)

对BC 绳

vc =vBcos θ

联立解得

图4.2

例2　由喷泉喷出的竖直水柱把一个质量为M 的垃圾筒倒顶在空中。 若水以恒定的速度v0 从面积为S 的小孔中喷出射向空中,在冲击垃圾筒底后以原速率竖直溅下,如图4.2 所示,求垃圾筒停留的高度h。

解　对垃圾筒而言,有

F=Mg

在水冲击垃圾筒处,水的截面积不再是S,则时间Δt 内冲击到筒上水的质量Δm=ρ水Sv0Δt,但水速为v1,则

FΔt=Δm·2v1 =Sv0Δt·ρ水·2v1

而(www.zuozong.com)

解得

例3　如图4.3(a)所示,三个质量都为m 的刚性小球A、B、C 位于光滑的水平桌面上(图中纸面内),A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆相连,杆与A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的(不能对小球产生垂直于杆方向的作用力)。 已知杆AB 与BC 的夹角为π -α,α ＜π/2。 DE 为固定在桌面上一块挡板,它与AB 连线方向垂直。 现令A、B、C 一起以共同速度v沿平行于AB 连线方向向DE 运动,已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用,求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0 这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小。

图4.3

解　令I 表示题述极短时间Δt 内挡板对C 冲量的大小,因为挡板对C 无摩擦力作用,可知冲量的方向垂直于DE,如图4.3(b)所示;I′表示B、C 间的杆对B 或C 冲量的大小,其方向沿杆方向,对B 和C 皆为推力;vC1表示末了时刻C 沿平行于DE 方向速度的大小,vB1表示Δt 末了时刻B 沿平行于DE 方向速度的大小,vB2表示Δt 末了时刻B 沿垂直于DE 方向的大小。 由动量定理

对C 有

I′sin α=mvC1

I-I′cos α=mv

对B 有

I′sin α=mvB1

对AB 有

I′cos α=2m(v-vB2)

因为B、C 之间的杆不能伸缩,因此B、C 沿杆的方向的分速度必相等,故有

vC1sin α=vB2cos α-vB1sin α

解得

注:本题也可以根据角动量守恒定律(对C 点)列式,同时一对作用力与反作用力的冲量是等大反向。

巩固提升

1.一个人在离墙面水平距离为d 处,以仰角向墙投掷一球,如图4.4 所示,试问欲使该球自墙回跳后仍回到他手中,则他投球的初速度v0 需要多大? (设垂直墙方向,球碰撞前速率与碰撞后速率之比为2,并设摩擦因数为μ 且μ≤tan α。)

图4.4

2.一帆船在静水中顺风飘行,风速为v,问:船速为多大时,风给船的功率最大? (设帆面是完全弹性面,且与风向垂直。)

3.从地面上以v1 =20 m/s 的初速度竖直上抛一个质量为m 的小球。 由于大气阻力作用,球落回地面时的速率v2 =15 m/s。 设空气阻力与小球速率成正比,g 取10 m/s2, 试求小球在空中运动所需要的时间。

图4.5

4.将一空盒放在电子秤上,将秤的示数调到零,然后在高出盒底h =1.8 m 处将小弹珠以n=100 个/s 的速率注入盒中。 若每个弹珠的质量为m =10 g,且落到盒内后停止运动,则开始注入后10 s 时,秤的读数为多少(g 取10 m/s2)?

5.如图4.5 所示一盛水的容器沿倾角为θ 的固定斜面向下滑动,从靠近容器底部的细管A 的管口向外喷出水,水的速度为v0,细管的内横截面面积为S。 已知水和容器的总质量为M,设容器内水的质量可视为不变,水的密度为ρ,当容器下滑时,水面与斜面平行,试求容器底部与斜面间的动摩擦因数。