高中物理：力偶和力偶矩的解析

图1.14

作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成一对力偶。 力偶相对于特定转轴产生的力矩叫力偶矩,其大小等于力与力偶臂的乘积,力偶臂为两个力的作用线之间的距离。 力偶矩的大小与转动轴选取的位置无关,其正负亦由它使物体转动的方向来确定:逆时针为正,顺时针为负。 如图1.14 所示,物体的转动轴为过O 点垂直于纸面的直线,物体受力偶(F1,F2)的作用。 因F1 =F2 =F,力偶对物体的转动作用可由F1、F2 对转轴的力矩求和可得:M = -(F1L1 +F2L2) =-FL。 式中,-FL 为力偶(F1,F2)产生的力偶矩,力偶与转轴O 点的位置无关,“ -”表示是顺时针方向转动的力偶矩。

力偶是一对大小相等的力,不会使物体产生平动加速度,故力偶对物体只有转动作用,一对力偶产生的效应只能由另一对力偶来平衡。

典型例题

例1　如图1.15(a)所示,质量分布均匀的细杆靠在光滑的竖直墙壁A 上。 已知细杆长为L、所受重力为mg,其与地面的摩擦系数足够大。 当细杆在竖直平面内保持静止时,它与水平方向的夹角为θ,求墙壁A 对细杆产生作用力。

解　如图1.15(b)所示,对细杆进行受力分析可知,细杆受到的四个力必须能使细杆保持质点的受力平衡:墙壁A 的支持力NA 和地面B 的静摩擦力f、细杆自身的重力mg 和地面的支持力NB 必须为两对力偶。

图1.15

所以

则题目的关键是分析NA 或f。

细杆也必须同时满足任意点为轴的力矩平衡,为计算方便,选取细杆与地面的接触点B为转轴,有

则

例2　如图1.16(a)所示,质量为M 的均匀圆板边缘固定一个质量为m 的小重物,重物大小可以忽略。 将圆板放在倾角为α 的斜面上,当m 与圆心O 点的连线与竖直线夹角为θ时,圆板恰好静止,求sin θ 的值。 假设圆板与斜面间的摩擦因数足够大。

解　圆板和小重物构成了一个系统,对该系统受力分析可知,系统的所受的外力共有四个:圆板和小重物受到的重力Mg 和mg,斜面对圆板产生的支持力N 和静摩擦力f,如图1.16(b)所示。 由于所受力中只有Mg 和mg 为已知的力,选择圆板与斜面的接触点P 为转轴,根据力矩平衡有

图1.16

解得

由此也可以看出,选择点P 为转轴可以避免求解力N 和f。

例3　结构均匀的梯子AB 靠在光滑竖直墙壁上,已知梯子长为L、重为mg 与地面的动摩擦因数为μ,如图1.17(a)所示。 地面和梯子间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。

(1)求梯子不滑动时,梯子与水平地面夹角θ 的最小值θ0;

(2)当θ =θ0 时,一重为mg 的人沿梯子缓慢向上攀登,问人到达什么位置时梯子开始滑动?

解　(1)梯子与水平地面夹角θ 的最小值θ0 对应B 处所受的静摩擦力最大,此时杆的受力如图1.17(b)所示。 细杆受到的四个力必须能使细杆保持质点的受力平衡:墙壁A 的支持力NA 和地面B 的静摩擦力f、梯子自身的重力mg 和地面的支持力NB 必须为两对力偶,则

因为要分析摩擦力,选取点A 为转轴,有

解得

(2)进入向上攀登到距离A 点x 处时梯子开始滑动,仍取点A 为转轴,则

而力偶平衡变成

联立解得

例4　两个质量分布均匀的相同小球A 和B,半径为r,重为P,置于两端开口的圆筒内,圆筒半径为R,且r ＜R ＜2r,并竖直放在水平面上,如图1.18(a)所示。 设所有接触面均光滑,为使圆筒不至于倾倒,圆筒的最小重量Q 为多少? 如果换成有底的圆筒,情况又如何?

图1.18

解　对圆筒进行受力分析可知,圆筒受到力有:两个小球产生的弹力NA 和NB,自身受到的重力作用Q,以及地面在接触点H 上产生的支持力NH,如图1.18(b)所示。 需要指出的是,NA 和NB 是一对力偶;圆筒恰好平衡,有倾倒的趋势,故与地面的支持力作用只出现在点H 上,NH 和Q 也是一对力偶。

为计算方便,将转轴选在H 点上,圆筒的力矩平衡

分析小球A 的受力,由共点力平衡可得

联立求解,得

如果筒有底,则底部会受到两个小球产生的压力,圆筒不会倾倒。

巩固提升

1.质量为m、长为L 的均匀杆AB 由系于杆两端的长也为L 的两细线悬挂于O 点,如图1.19所示。 在B 点悬挂质量为m 的重物,求平衡时杆与水平方向的夹角θ。

图1.19

2.如图1.20 所示,重物G 挂在均匀硬棒上,离光滑转轴O 为L,硬棒单位长度的质量为m,为使棒保持静止,问:该棒长度为多少时,可使加于其左端的竖直向上的托力F 最小?

图1.20

图1.21

3.如图1.21 所示,人字形金属杆的臂长相等且质量分布均匀,两臂间的夹角可以改变。用一光滑铰链悬挂一个臂的端点L,为使金属杆的顶点A(即两臂连接处)位置最高,求金属杆两臂张开的角度为多大?(www.zuozong.com)

4.如图1.22 所示,一根重为G 的均匀硬杆AB,杆的A 端被细绳吊起,在杆的另一端B作用一水平力F 把杆拉向右边。 整个系统平衡后,细绳、杆与竖直方向的夹角分别为α、 β。求证:tan β=2 tan α。

图1.22

5.半径为R 的匀质半球体置于水平面上,其重心在球心O 正下方C 点处,OC=3R/8,半球质量为m 且在半球的平面上放一质量为m/8 的物体,它与半球平面间的动摩擦系数为0.2,如图1.23 所示,则物体刚要滑动时离球心的最大距离为________。 (假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

图1.23

图1.24

6.如图1.24 所示,匀质管子AB 长为L、重为G,其A 端放在水平面上,点C 靠在高为h的光滑铅直支座上,h=L/2。 设管子与水平面成倾角θ=45°时能够保持平衡状态,求管子与水平地面之间的动摩擦因数值至少为多大?

7.有一块均匀木板AC 长为L1,重为G1,A 端用铰链固定在地面上。 先用长为L2、重为G2 的撬棒BD 把木板AC 支起达平衡位置,如图1.25 所示。 假定木板与撬棒的接触是光滑的,地面足够粗糙,图中α=30°,β=60°,且L1∶L2 =2∶3,问作用于撬棒端点D 的外力F 至少为多大?

图1.25

8.质量为80 kg 的人沿如图1.26 所示的梯子从底部向上攀登,梯子质量为25 kg,顶角为30°,已知AC 和CE 都为5 m 长且用铰链在C 点处相连,BD 为一段轻绳,两端固定在梯子高度一半处。 设梯子与地面的摩擦可以忽略,求在人向上攀登的过程中轻绳中张力的变化规律。

9.如图1.27 所示,轻杆AB、BC 由铰链相连,并通过铰链固定在竖直墙壁上,构成一直角支架。 一个质量为m 的物体,从最高处由静止开始沿AB 杆无摩擦地滑下,求作用于AB杆的B 端的作用力随时间的变化关系(物体到达B 端之前)。

图1.26

图1.27