在小学数学里，两个正整数（非0自然数）相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或称为约数。例如，a×b＝p，那么a，b都是p的因数，p是a，b的倍数。（在研究因数和倍数时，不考虑0。）
（一）因数的求法与记法
1.因数的求法
对于24这个自然数，我们知道：
24÷1＝24
24÷2＝12
24÷3＝8
24÷4＝6
(24÷6＝4)
其中，所有算式中的除数和商都是24的因数，“（24÷6＝4）”中算式带括号是因为发现这个算式求出的2个因数和前面的重复了。在我们用除法求24因数的过程中，除数从小的数依次变大，所得的商依次变小，所以，如果某个除法算式的商比除数小了，说明与之前的某个算式重复，就不需要再求下去了。
2.因数总是成对出现
通过上面4个算式，我们发现因数是成对出现的，1和24是一对、2和12是一对，等等。用字母表示，若a×b＝p，a，b就是p的两个因数，对于p的因数a而言，总有一个因数b，与a相乘后的乘积等于p，我们可以通俗地理解为a，b是p的一对因数。那么得到，一个自然数的因数总是成对出现的。
3.从小到大排列因数
我们把24的因数从小到大依次记为1，2，3，4，6，8，12，24。我们发现，最小的和最大的是一对、第二小的和第二大的是一对，等等，也符合上面4个算式中因数总是成对出现的规律。另外发现，最小的因数是1，最大的因数是其本身。
第二小的因数一定是个质数。简单证明如下：
假如第二小的因数是4，而4＝2×2，那么2肯定也是因数，4就不是第二小的因数了。同样，又因为第二小的因数和第二大的因数相乘等于最大的因数（也就是被求因数的自然数本身），那么，最大因数是第二大因数的倍数，这个倍数也是质数。
4.因数之间的相对关系
对于1×24＝24和2×12＝24这两个算式中的4个因数1，24，2，12来说，2是1的2倍，24是12的2倍。根据前面的专题“乘法算式中数字的变化”，我们发现，若自然数p中两对因数a，b和m，n，满足，p＝a×b且p＝m×n，那么有a÷m＝n÷b，即a是m的几倍，n就是b的几倍。
（二）根据因数的个数的分类
大于1的自然数中，除了1和它本身外没有其他因数的数为质数。质数只有2个因数。大于1的自然数中，除了1和它本身外还有其他因数的数称为合数。合数至少有3个因数。
1.质数
（1）质数的特点
自然数中有无穷个质数，2，3，5，7，11，13，17…。根据前面的专题“整除”我们知道：大于2的偶数除以2都没有余数，2是偶数中唯一的质数（质数中唯一的偶数）；除了5以外，个位数是5的自然数除以5都没有余数，这些数都不是质数；大于10的质数，其个位数字只能是1，3，7或9。
（2）质数的意义
根据质数除了1和本身没有其他因数的特点，我们在求一个数因数的过程中可以发现，如果这个自然数除以2都除不尽，说明2不是它的因数，那么我们在用除法尝试其他数字时，就不需要尝试去除以4（或者2的其他倍数），看4是否是它的因数，因为4＝2×2，这个数既然不是2的倍数，就不可能是4的倍数了。所以我们在求一个数的因数时，用这个数去除以质数，且从最小的质数开始，直到商比你选的除数小。
（3）互质
除了1以外，没有共同约数的两个数，我们称这两个数互质。
2.合数
（1）奇数个因数的合数（完全平方数）
例如，25＝1×25，25＝5×5，25的因数只有1，5，25，其中，1和25是一对，5和5是一对，而两个5是相同的，那么只能算1个因数。这样，类似于25的自然数，有1个因数是自己和自己配对，而其他因数总是成对出现且不相同，成对出现且不相同的因数一对有2个，无论有多少对都是2的倍数，为偶数个，那么，这个数因数的个数为1个加上偶数个，结果为奇数个。类似于25一样，若一个数可以表示为同一个因数的乘积，我们称这个数为完全平方数。完全平方数中总有1个因数要和自己配对，那么完全平方数因数的个数为奇数个。
关于完全平方数的特性如下：
a.从乘法竖式的计算法则我们知道：一个自然数若可以表示成2个乘数相乘的形式，这个自然数的个位只取决于两个乘数个位相乘所得到乘积的个位数字。一个完全平方数可以表示成2个相同的数的乘积，1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9…9×9＝81，那么一个完全平方数的个位数字只能是1，4，5，6，9。
b.若完全平方数p＝a×a，那么在p的所有因数中，比a大的因数和比a小的因数同样多。p的因数中，除了a以外，其他因数都是两两配对的。根据乘法算式中数字变化的规律，除a以外，p中任意一个因数，它若比a小，与它配对的因数肯定比a大。那么任意一对因数中的两个因数，一个比a大，一个比a小，不论有几对，总有一半比a大，一半比a小。若p＝a×a，把p的因数从小到大排列起来，a是中间的那一个。
例如：1×36＝36
2×18＝36
3×12＝36
4×9＝36
6×6＝36
36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，中间的是6。从上面5个乘法算式也可以看出，2个乘数中，第一个乘数依次变大到6，第二个乘数依次变小到6。
c.相邻两个自然数平方后所得的两个完全平方数的差值，等于这两个相邻自然数的和。
例如：10×10＝100，9×9＝81，100-81＝19，19＝10＋9；
9×9＝81，8×8＝64，81-64＝17，17＝9＋8；
8×8＝64，7×7＝49，64-49＝15，15＝8＋7；
……
证明：若有两个相邻的自然数a和a＋1，则有
（2）偶数个因数的合数（非完全平方数）(www.zuozong.com)
非完全平方数的一个数，其任意一个因数总有与其配对的另一个因数，且不相同，每对因数有2个，不论有多少对，因数的个数还是2的倍数，即为偶数个。
例如：12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，3个算式，3对因数。
例题精讲
例1 有一个由若干个小正方形格子组成的大长方形方格本子，小明从某个自然数开始依次写数字，从第一格写起，写满一行换下一行，一行格子的数量在20与30之间。发现数字63和144在同一竖排。这个本子一行有多少个格子？
【思路分析】在同一竖排的数字的差值，肯定是一行格子数的倍数。144-63＝81，81＝1×81，81＝3×27，81＝9×9，81是27的3倍，27满足条件，一行27个格子。
例2 用1，2，3，4，5，能组成哪些两位质数？
【思路分析】2，4不能做这个两位数的个位，会被2整除；5不能做这个两数的个位，会被5整除。
个位是1的质数有31，41；个位是3的质数有13，23，43，53。
例3 两个质数的和是91，求这两个质数的乘积。
【思路分析】我们知道质数中除了2以外，其他都是奇数。这两个质数的和是91，91是个奇数，那么这两个质数有一个偶数、一个奇数，偶数只能是2，那么奇数为91-2＝89，2×89＝178。
例4 一个自然数，它最大的因数和第二大的因数的和是124，这个自然数是多少？
【思路分析】最大的因数是这个自然数本身，那么这个自然数的最大因数是第二大因数的若干倍，且这个倍数起码是2倍。那么最大因数和第二大因数的和也是第二大因数的若干倍，且这个倍数起码是3倍。
124＝1×124，124＝2×62，124＝4×31，由此可看出，第二大因数是31，4-1＝3，最大因数是第二大因数的3倍，31×3＝93，这个自然数是93。
例5 151是不是质数？
【思路分析】151按顺序分别除以2，3，5，7，11，13都有余数，且151÷13≈11.6，之后无需再做除法。因为选的除数比13大，商肯定小于或等于11。如果此时这个除法算式没有余数的话，这个商就是151的因数。小于或等于11的因数如果存在，在除数增加到13之前，这个因数就已经作为除数出现过了，所以选的除数比13大时，依旧除不尽。那么，151是质数。
习题精炼
基础题
1 小明匀速跑圈，小红在跑道某处看风景，小明第一次路过小红的时候，小红看了一眼表，是下午3点零15秒，过了一段时间小明第n次路过小红的时候，小红看了时间是下午3点零4分零47秒。小明跑一圈大概在1分钟左右，小明跑一圈到底要多久？
2 个位数字、十位数字都是质数的两位质数有哪些？
3 233是不是质数？
4 在101～200之间，因数个数是3个的自然数有哪些？
5 三个连续自然数的乘积为3360，这三个数是多少？
6 三个质数的和是34，求这三个质数的乘积。
7 一个自然数，它最大的因数和第二大的因数的和是117，这个自然数是多少？
8 一个自然数有一个因数是4，这个自然数因数中第二大的是48，这个自然数是多少？
9 自然数有2个因数，那么这个自然数的3倍有几个因数？
10 在各个数位数字的乘积是质数的两位数中，最大和最小的差值是多少？
11 试说明9个连续自然数中，最多有4个质数。
提高题
12 有三个质数，他们的乘积是他们的和的5倍，这三个质数是多少？
13 若有一些两位数，十位数字和个位数字都是合数，但是这两个数字互质。这样的两位数中最大的与最小的差是多少？
14 有两个整厘米数的线段A，B，由A为边长组成的正方形比由A，B组成的长方形的面积多67平方厘米。A，B各是多少厘米？
15 若a＝2×2×2×3×3×3×5×5×5×7×7×7，那么在a的因数中，最大的两位数因数是多少？
16 a，a＋42，a＋74，a＋98，结果都是质数，那么a是多少？
17 几个小朋友平均分36个糖，正好分完。如果增加2个小朋友，重新分配，平均分之后，发现多了1个。原来有几个小朋友？
18 20以内选6个质数，分成3组，每组的和一样，每组的和是多少？
19 在自然数a的因数中，第二小的因数是3，最大的因数比第二大的因数多74。a是多少？
20 若自然数a的因数中，第二小的因数是5，且第二大的因数的平方等于a，a是多少？
21 一个正方形的边长增加了1之后，面积比原来增加了21平方厘米。原来的正方形面积是多少？
22 请任意写出一个因数个数为7个的自然数。
压轴题
23 请写出100以内的质数，并仔细观察。
24 请写出7个连续自然数，且这7个数都是合数。
25 在一个自然数所有的约数中，任取2个，和最大是99，和最小是3，这个自然数是多少？
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