小学奥数阶梯详解：排列组合

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。排列类型的题目类似于A，B，C三个不同的数字可以组成多少个三位数，相当于把A，B，C排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。组合类型的题目类似于从A，B，C三个数字中挑出两个数字，有几种挑法。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合的基本计数原理是加法原理和乘法原理。

（一）加法原理

加法原理是分类计数原理。做一件事情有若干种方式，每种方式有若干种方法，这些方法的总和就是做完这件事可用方法的种类。用字母表示：做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法。

（二）乘法原理

乘法原理是分步计数原理。做一件事情有若干种步骤，每个步骤有若干种方法，这些方法的乘积就是做完这件事可用方法的种类。用字母表示：做一件事，完成它有n个步骤，在第一步中有m1种不同方法，在第二步中有m2种不同方法……在第n步中有mn种不同方法，那么完成这件事共有m1m2…mn种不同方法。

加法原理和乘法原理是两个基本原理，它们的区别在于一个与分类有关，另一个与分步有关。运用以上两个原理的关键在于分类要恰当，分步要合理。

分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事。分类必须包括所有情况，又不要交错在一起产生重复，要依据同一标准划分。

分步计数原理针对的是“分步”问题，各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。分步应使各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余、重复，也不得缺少某一步骤。

例题精讲

例1　小明和妈妈吃中午饭，有3家餐馆。第一家有4种套餐；第二家有3种套餐；第三家有2种套餐。小明要吃其中1种套餐，小明有多少种选择？

【思路分析】4＋3＋2＝9（种），典型的分类问题，这9种套餐也互不影响。

例2　4个人打乒乓球比赛，每个人都要与其他人打1场，一共有几场比赛？

【思路分析】

令4个人为A，B，C，D，1场比赛有2个人参加，比赛中有A的时候，他要分别和B，C，D打；比赛有B的时候，B和A已经打过了，那么B接下来分别和C，D打；C前面已经讨论过有A，B的比赛，那么前面C肯定和A，B打过了，C只要再和D打；D是最后一个，前面3人都和他打过，他不需要再打了。比赛场数为3＋2＋1＝6。

每个人都要和其他3个人打，每人要打3场，那么4×3＝12（场），又因为A，B打与B，A打是同一场比赛，重复了，任何两个人的两场比赛都重复一次，12÷2＝6（场）。

这是个典型的组合问题，相当于问从A，B，C，D 4个人中选出2个人，有几种选法。我们在分类的时候分别按照有A，B，C或D的比赛进行分类，去掉重复的，最后相加。

例3　小明周末去公园，出发前妈妈拿来2件不同款式的衣服、3条不同颜色的裤子、2双不同款式的鞋，小明可以搭配多少种不同的一身衣服？

【思路分析】衣服有2种选择，每种选择都可以搭配3种裤子，选了任意一种衣服和任意一条裤子后，都有2种鞋来搭配，共有2×3×2＝12（种）。

例4　由2，3，4，5可以组成多少个不同的四位数？

【思路分析】千位有4种选择，不论千位选择哪一个数，都剩下3个数；百位有3种选择，不论千位、百位选择哪两个数，剩下2个数；十位有2种选择；最后的个位数在前三位被选完之后，没得选，1种选择。

4×3×2×1＝24（种），24种不同的四位数。

例5　从1到20的20个数中，任意取出两个，且取出的两个数的和是2的倍数，有多少种取法？

【思路分析】20个数分成两类，除以2余数为1的有10个，除以2没有余数的有10个。

取出的两个数的和是2的倍数，那么取出的两个数有两种情况：(www.zuozong.com)

取两个除以2余数为1的数，这样的取法共有9＋8＋…＋1＝45（种）；

取两个都是2的倍数的数，这样的取法共有9＋8＋…＋1＝45（种）。

共有45＋45＝90（种）。

习题精炼

基础题

1 9块糖分3份，每份至少1块，几种分法？

2 从围棋的黑、白棋子中任意取出4个从左到右依次排列，有多少种情况？

3 从1到20的20个数中，任意取出两个，且取出的两个数的和是3的倍数，有多少种取法？

4 用0，1，2，3，4可以组成多少个不同的三位偶数？

5 把5，6，7，8，9填入下面表格中，要求第二格和第四格的数字比它两边的数字大，有几种填法？

6 火车在一条直线上的5个站运行，那么车票有多少种？

提高题

7 5个同学握手，每人都要与其他人握1次手，总共握手多少次？

8 3个同学上课，有一排4个空位，那么这三人有多少种坐法？

9 用1，2，3这三个数字写出一个四位数，且1，2，3必须各自出现至少一次，那么可以写出多少个四位数？

10 小明要从左下的格子走到右上的格子，走格子时只能走上、下、左、右相邻的格子，且要求走的距离最短，那么他有多少种路线？

11 6个小朋友排队，其中有一对双胞胎必须站一起，那么排队的方式有几种？

12 若A，B，C，D，E五个人排队照相，从左到右有5个座位，其中A，B必须坐一起且不坐两端，有多少种坐法？

压轴题

13 3个男生和3个女生排成一队，要求男、女生不相邻，有几种站法？

14 6个人平均分为3组，有几种分法？

15 由1，2，3，4组成的不同四位数的和是多少？