学习三角形的特性、分类和内角和

单元教材解读

本单元教材的学习内容是：认识并建立三角形的意义以及三角形的各部分的名称，建立三角形的数学模型，知道三角形的特性，学习以“角”或“边”的特征将三角形进行分类，探索各种三角形之间的联系和区别，认识等腰三角形以及等边三角形的边与内角的特征，探索三角形三边之间的关系，建立三角形内角和的数学模型。本单元的学习是建立在学生已经感知并初步认识了三角形的形状特征，知道锐角、直角与钝角的概念并能进行正确区分与判断，懂得平角以及平角的度数。能用量角器量出角的度数，懂得线段、直线与射线的意义，已初步建立平行与垂直的空间观念，懂得借助三角尺等简单的工具画垂线的方法，已感知认识平行四边形具有可变形特征等知识技能基础上进行的。学生对于三角形的数学模型的建立，将有助于后续对于其他平面图形的认识以及学习三角形的面积计算奠定基础。

本单元教材遵循让学生“在活动中学数学、做数学”的思路安排，让学生经历动手操作、猜测联想、抽象概括等自主探究活动，建立三角形的数学模型。整个单元教材分设有“三角形的特性”“三角形的分类”与“三角形的内角和”等几部分内容。共设置了7个例题与2个“练习”。

对于“三角形的特性”的认知，教材设置了4道例题。

教材首先设置了两张图片为主题情境图，并提出：“我们学过三角形，你能找出图中的三角形吗？”意图是让学生联系主题图的物体（图形）以及身边的物体说出三角形，让学生体会三角形就在生活中。

接着教材的例1设计让学生自己“画出一个三角形，并说一说三角形有几条边、几个角、几个顶点”。在此基础揭示了“由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形”的意义。同时借助图形指出“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底”。呈示了三角形的“高”与“底”的概念，并提出“想一想，一个三角形有几条高”的问题让学生思考、议论，以让学生知道一个三角形有三条高，并体会“高”与“底”的相对依存。教材的最后还让学生认识用字母表示三角形。教材的意图是要唤醒并借助学生对三角形的感知认识，让学生经历感知观察、操作、想象与表述活动，以让学生对三角形的特征认识从图象表征转化为抽象的符号表征，使学生初步建立三角形的数学模型；知道三角形的各部分名称，懂得三角形的底与高的相对依存、对应关系。接着在“做一做”中，教材提供了三个三角形，并标示出其中一条底。要学生“说一说每个三角形的各部分名称，并各画出一条高”。旨在巩固对三角形特征的认识，初步掌握画三角形的高的方法。

教材的例2是设置让学生进行“用三根小棒摆三角形，用四根小棒摆四边形，看看各能摆出几个？（小棒的长度都一样）”的活动。教材呈现了学生的操作实践与观察思考活动。认为“用三根长度一样的小棒摆出的三角形都一样，只有一种”，而“用四根长度一样的小棒可以摆出形状不同的四边形”。在此基础，教材又以“小精灵”提出“你发现了什么”的问题，以使学生经历比较与思考活动，感受到三角形与四边形的不同，初步体会三角形的唯一性，为三角形具有稳定性的认知活动提供基础。接着教材提供了学生生活中熟悉的自行车、篮球架与电杆上的三角形支架的图片，并结合图片提出“各图中哪儿有三角形？想想它们有什么作用”的问题让学生进行观察、辨认与思考。教材还呈示了学生在进行分别拉动三角形、平行四边形框架的操作活动。而使学生经历操作实践活动，发现并体验到：三角形拉不动，而平行四边形一拉就变形；感知三角形具有稳定性的特性。教材的意图是要组织学生进行操作拼摆三角形、四边形的活动，并要引导学生对活动结果以及“拉动”框架的操作活动进行比较。结合学生已感知认识平行四边形具有可变形特征，使学生初步体会到三角形具有不变形的稳定性。然后再结合“做一做”引导学生联系生活实例阐述三角形的稳定性在生活中的应用，体会数学与生活的密切联系。

教材的例3是设置结合生活实例，让学生理解两点间所有连线中线段最短，并建立“距离”的意义。例3是以“学生上学走哪条路”为主题情境。例题先提供了学生的家、学校以及邮局和商店的相对位置平面示意图，图中还呈现了呈三角形形状的道路网。然后利用学生对话的形式提出“我上学走中间哪条道路最近”的问题，以引发学生进行观察思考。然后教材揭示“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离”。教材的意图是要结合具体情境，组织学生对“我上学走中间哪条道路最近”的问题进行思考以及交流讨论活动。以让学生感知到走中间直的那条道路最近。然后采用接受性的方式让学生认识并抽象建立“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离”的意义。

教材的例4是探索三角形的三边关系。教材设计让学生按照要求进行小组协作操作实验活动：首先让学生按照所提供的数据剪出四组纸条，然后让学生用每组纸条摆三角形。由于所剪下的每组纸条不一定都能摆出三角形，所以教材提出了让学生结合实践活动进行思考，而使学生发现“三角形任意两边之和大于第三边”的结论。教材的意图是要让学生经历操作拼摆、比较、猜想与验证活动，抓住“任意”进行思考概括归纳，从而发现出“三角形任意两边之和大于第三边”的结论。培养学生分析、比较、概括、抽象、判断、推理的抽象思维，渗透猜想与验证的数学思想。

对于“三角形的分类”部分，是从“角”与“边”的特征上对三角形进行分类认知。以让学生从角与边的特征的角度进行观察、对比、分类活动，而认识不同三角形的特征与内在联系。教材的例5是以学生“采用不同的分类标准对于三角形进行分类”的活动为主题情境。在主题图中呈现的是学生先依据角的特征对于不同的三角形进行分类活动，并依据这个特征显示了分的结果：“锐角三角形”“直角三角形”与“钝角三角形”三种。同时教材还指出“把所有的三角形作为一个整体，上面的三种三角形都是这个整体的一部分”。然后呈现了用集合图来表示这三种三角形的关系。教材的意图是让学生经历以角的不同特征为标准的分类活动，并经过比较，而概括出：“三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；而有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”，并知道直角三角形与钝角三角形中都有两个角是锐角，以让学生从角的特征上建立起三种三角形的数学模型。

最后教材提供了一个直角三角形，要学生进行“量一量这个直角三角形的直角边与斜边，再比一比，你发现了什么”的活动。教材的意图是让学生经历对不同大小的直角三角形的三条边的长度进行测量并交流展示测量的结果，以让学生发现在直角三角形中斜边最长，但两条直角边的和大于斜边。加深对三角形三边关系的理解，培养学生的观察、概括归纳能力。

接着，教材又呈现了学生从边的特征上对三角形进行的分类活动。主题图中呈现了学生从三角形中有几条边相等的角度进行思考并分类，分出了等腰三角形与等边三角形，以使学生认识并初步建立了这两种三角形的数学模型。然后教材揭示了等腰三角形与等边三角形的各部分的名称。然后提出让学生进行“量一量等腰三角形与等边三角形的各个角，你发现了什么”的数学活动。教材的意图是让学生经历“量”角的活动，知道等腰三角形不只是两条腰相等，并且两个底角也相等；等边三角形不只是三条边相等，三个内角也相等。从而使学生在认识等腰三角形与等边三角形的三个内角的特征，建立等腰三角形与等边三角形的数学模型。接着，教材呈现了生活的实际图像，提出让学生进行“找一找，哪里有这两种特殊的三角形”的活动，旨在加深学生对于等腰三角形与等边三角形的特征的认识，并促使学生建立起等腰三角形与等边三角形的数学模型。

最后教材在“做一做”中，设计了让学生在点子图上画三角形的实践活动。旨在让学生通过在点子图上画出不同特征的三角形，加深学生对于不同三角形特征的认识，促进学生对于三角形的认识形成认知系统。

在设置的“练习十五”中，主要是提供关于三角形的特征和分类的练习素材。

第1题提供了三个三角形，并标示出其中一条底，要学生“说一说每个三角形的各部分名称，并各画出一条高”。旨在巩固对三角形特征的认识，促进掌握画三角形高的方法。

第2题结合提供的实物图提出“椅子太摇晃了，怎样加固它呢”的问题让学生解决。旨在加深对三角形不变形特性的认识和体会，培养学生的应用能力。

第3题结合两幅实物图提出“哪种方法更牢固？为什么”的问题让学生解决。旨在加深对三角形不变形特性的认识和体会，培养学生的分析、判断和应用能力。

第4题提出了两个问题：（1）提出要学生“在钉子板上分别围出一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形与等腰三角形”。（2）要学生“围出一个三角形，它既是锐角三角形又是等腰三角形”。旨在加深学生对于不同三角形特征的认识，促进学生对不同三角形空间观念的建立。

第5题结合提供的示意图要学生画出蚂蚁进洞的线路，并提出“你有特别的发现吗”的问题让学生思考。旨在加深学生对于不同三角形特征的认识，促进学生对不同三角形空间观念的建立，培养学生的分析和应用能力，体会解决策略的多样性，渗透对应的数学思想。

第6题结合提供的示意图要学生解决“去兴华小学走哪条路最近”的问题。旨在加深学生对两点间所有连线中线段最短的理解和体会。

第7题提供了4组小棒，每组有3根，并提供了每根小棒的长度信息。要学生“在能拼成三角形的各组小棒下面画‘√’”。旨在加深学生对三角形的三边关系的理解，培养学生的判断推理能力。

第8题提供了6根小棒，并提供了每根小棒的长度信息。要学生解决“用这6根小棒能摆出几种三角形？”的问题。这是一个解决方案多向题。旨在加深学生对三角形的三边关系的理解，培养学生的思维灵活性，体会解决策略的多样性。

第9题是让学生协作进行“猜一猜是什么三角形”的数学游戏。旨在加深学生对于等腰三角形特征的认识，促进学生对等腰三角形空间观念的建立，培养学生的分析和判断能力，激发学生的情趣。

第10题是操作题，要学生“用一张长方形纸剪一个等腰三角形”。旨在加深学生对于等腰三角形特征的认识，促进学生对等腰三角形空间观念的建立，培养学生的操作和应用能力。

对于“三角形的内角和”是让学生经历对不同三角形的内角进行猜测、操作、观察、对比、验证等数学活动，探索并发现三角形的内角和的度数。教材设置了2个例题和一个“练习”。

教材的例6设置先让学生“画几个不同类型的三角形。量一量、算一算，三角形三个内角的和各是多少度”。教材的主题图中呈现了学生在进行量三角形的内角的度数的活动，呈示了学生量出“三个内角的和大约是180度”的初步结果。然后“小精灵”提出了：“你发现了什么？用实验来验证一下”。教材的意图是先让学生独立画出几个不同类型的三角形，然后利用量角器分别量出自己所画的三角形的三个内角的度数，并算出三个内角度数的和。接着让学生进行交流汇报自己度量的结果。由于学生的度量活动可能受一些因素的影响，所得的结果会产生误差，因此“量”的结果只可能是“三个内角的和大约是180度”。教师必须借此引导学生对于三角形的内角和的度数依据度量的结果进行猜测与实践验证活动。教材呈示了操作验证活动的方法与步骤，让学生通过将自己所画的“三角形的三个内角剪下来，再拼一拼，看一看拼成什么角？”的实践操作活动。教材的意图是要引导组织学生利用自己对于平角的认知，经历对不同三角形进行拼、摆、折等操作活动。经过交流活动而知道并验证了“三角形的内角和是180°”的结论，使学生初步建立了这个数学模型。并体会“猜测与验证”的数学思想方法。

然后教材设置了“做一做”，提供了两个活动素材。第一，提供一个三角形，提出“三角形中，∠1＝140°，∠3＝25°，求∠3的度数”的问题让学生解决。第二，结合示意图提出“把这个三角形沿着一条高剪成两个三角形，每个小三角形内角和是多少度？”的问题。旨在加深学生对于三角形内角和的理解。

教材的例7是解决问题的素材，提出让学生解决“四边形的内角和是多少度”的问题。并以解决问题的三个步骤提供素材。

在“阅读与理解”一环，呈现了学生进行审题活动，提出了“四边形有多种，是不是所有的四边形的内角和都一样呢”的思考。意图是要先让学生进行审题活动，培养学生的认真审题习惯。

在“分析与操作”一环，呈现了学生自主探索的活动场景。有的学生从正方形与长方形的四个内角直角的角度，得出四边形的内角和是360°。有的学生提出了“用什么办法求出其他（一般）四边形的内角和是多少的思考”。并呈现了学生用在解决三角形内角和的剪拼四个内角的方法；或者采用把一般四边形沿着一条对角线剪成两个三角形后，推出四边形的内角和是360°。教材的意图是要放手让学生自主进行探索操作活动。经过交流活动，让学生对特殊与一般的四边形的内角和进行探索推理与抽象概括活动。以使学生获得“四边形的内角和是360°”的规律。培养学生的探究发现与推理能力，渗透转化与模型化以及“分”与“合”的数学思想方法。

接着在“回顾与反思”一环，教材呈现了学生从特殊到一般的探索结果的一致性验证解决答案的正确性以及学生对探索活动过程的回顾与反思活动。旨在加深学生对探索推理必须具有普遍性的体会，获得探究规律的活动经验，培养学生的元认知能力。

接着在“做一做”中，设置了“你能想办法求出右边（六边形）的内角和”的问题让学生思考解决。旨在培养学生的探索推理能力，获得探究规律的活动经验。(www.zuozong.com)

接着教材提供的“练习十六”，内容包含本单元所学到的有关于三角形知识的练习素材。其中，

第1题是提供了3个三角形（锐角三角形、钝角三角形与直角三角形），并提供每个三角形的两个内角的度数，要学生解决第三个内角的度数。旨在促进学生对于三角形内角和的理解与掌握。

第2题分别提供了等边、等腰与直角三角形各一个，并呈现了等腰三角形的顶角与直角三角形的一个内角的度数数据，提出要学生“求出每个三角形各个角的度数”的问题。旨在加深学生对于三角形内角和的理解，促进对特殊三角形内角特征的理解，培养学生的分析推理与应用能力。

第3题提出“爸爸买了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是70°，它的顶角是多少度”的问题让学生解决。旨在加深学生对于三角形内角和的理解，促进对等腰三角形内角特征的理解，培养学生的推理与应用能力。

第4题以表格的形式提供了三角形、四边形、五边形、六边形、七边形……设置了边数与内角和的栏目，要学生“画一画、算一算，并按要求填写完成表格”，再说出“你发现了什么？”旨在让学生经历探索多边形的内角和的活动过程，培养学生的探索和推理能力。

第5题是设置让学生依据特殊三角形的特征进行“连线”活动。旨在促进对特殊三角形特征的理解，培养学生的判断推理能力。

第6题提供了两个让学生协作进行“猜一猜”的数学游戏。第一，提出让学生猜一猜“在三角形中，一个角是直角，另两个角可能是多少度？”；第二，提出让学生猜一猜“三角形的两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边可能是多少厘米”。这两个猜测的答案都不是唯一的。旨在加深学生对于三角形内角和与三边关系的理解，培养学生的分析和推理的能力，促进学生对三角形空间观念的建立，培养学生思维的灵活性。

第7题是提高题，结合提供的从一个三角形中的一个顶点出发分别向底边添加一条、两条、三条线段后的图形。提出了“这些图形中各有几个三角形？有什么规律”的问题。旨在培养学生的有序思考与发现规律的能力，加深对三角形特征的认识。

最后教材以“成长小档案”设置了单元学习的自我总结评价，让学生经历对三角形的特征、内角和等知识进行回顾，形成对三角形特征认识的认知系统。并围绕着“我知道、我得到、我需要”谈一谈经过本单元学习的收获与体会，并进行质疑问难等活动。

单元教材“四基”教学目标要求

基础知识目标要求：

认识三角形的概念和特性，知道三角形的底和相对应的高；知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°；认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点，知道四边形的内角和是360°。

基本技能目标要求：

理解三角形的定义，能够在三角形内画出与底相对应的高。能够根据三角形的两个内角的度数求出第三个内角的度数。能应用三角形三边的长度关系解决实际问题，能够辨认和区别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形与等腰三角形、等边三角形。

数学思想方法的目标要求：

渗透分类、集合、比较、对应、估测与验证，“分”与“合”以及模型化的数学思想方法。

数学活动经验的目标要求：

经历观察、操作、分类、对比、估测、验证、概括、抽象、建模、应用等数学探究活动的过程，获得相应的活动经验。

单元教学重点与难点

教学重点：

三角形的认识与三边关系以及内角和的认知。

教学难点：

三角形的三边关系以及内角和的探究。

本单元教学策略与建议

1.本单元的教学总体的策略可采取让学生经历在动手实践的基础上进行观察、猜测、验证、分析、抽象、概括等活动以使学生获得三角形的有关知识，建立不同三角形的数学模型与相应的空间观念。

2.对于三角形三边关系的教学，必须组织并引导学生通过猜测、拼摆、观察、分析、比较等手段而获得。在教学中，教师可先让学生根据三角形的定义猜一猜：是不是任意的三根小棒都能拼成一个三角形呢？然后再让学生动手利用小棒拼摆三角形操作实践活动。并组织学生观察所拼摆的结果，并进行讨论，从而让学生发现要怎样的三根小棒才能拼成三角形。在进行抽象概括活动中，教师要抓住“任意”让学生理解其含义。

3.对于三角形的分类的教学，必须让学生经历动手操作进行分类活动。在教学时，教师可先让学生画出任意的三个不同的三角形；也可为每组学生准备各种三角形的学具一套，然后组织学生依照自己的标准，对这些三角形进行分类活动。在全班性的交流汇报活动中，要先让学生说出分类的标准。然后再引导学生从角的特征或是从边的特征上对于不同三角形进行分类活动。

4.对于三角形内角和的教学，一定要让学生经历“猜想——验证——建模”的数学活动过程。在教学时，教师可先让学生以小组为单位，每个小组先画出锐角三角形、直角三角形与钝角三角形各一个。然后对于每个三角形的三个内角用量角器分别量出角的度数，并算出每个三角形的内角和之后，进行交流汇报活动。并对于三角形的三个内角的和一共是多少度进行猜测，然后再引导学生思考如何用其他的方法进行验证猜测的正确性。在学生的思考过程，教师可进行适当的引导，然后再放手让学生自主选择验证的方法，经过对学生实验结果的交流汇报活动，使学生发现了不管是哪一种三角形的三个内角都可以剪拼成一个平角，所以三角形的内角和是180°。由于学生每个小组只对一个三角形进行实验，所以教师还必须引导学生再选取不同的（从角的特征上）三角形再次进行验证活动，以使学生建立起“三角形内角和是180度”的数学模型，并体会“猜测与验证”的数学思想方法。

5.对于教材例7，在教学时要先让学生独立思考解决“四边形的内角和是多少度”的策略。在学生独立解决的基础上，组织学生进行展示交流活动。由于推理活动不能只是依据特殊的解决方法代替一般的结果，因此不能只是让学生利用长、正方形得出四边形的内角和是360°。所以教师可有意识地引导学生利用一般的四边形作为研究对象进行推理活动，并要充分展示学生的不同解决思路方法，以培养学生的推理能力。对于“做一做”中提出解决“正六边形的内角和的度数”的问题，在交流活动中，不能只是让学生得出结果，应当要让学生阐述如何进行推理活动的过程。

6.对于“练习十六”中的第6题，要让学生协作进行“猜一猜”的数学游戏。这两个猜测的答案都不是唯一的。因此必须要学生在进行游戏时，要说出“猜”的思维过程。旨在加深学生对于直角三角形内角和与三边关系的理解，培养学生的分析和推理的能力，促进学生对三角形空间观念的建立，发展学生思维的灵活性。