如何满足梁的强度条件？

(一)正应力强度条件

为了保证梁能安全工作,必须使梁的最大工作正应力σmax不超过其材料的许用应力[σ],这就是梁的正应力强度条件,即正应力强度条件为

如果梁的材料是脆性材料,其抗压和抗拉许用应力不同。为了充分利用材料,通常将梁的横截面做成与中性轴不对称形状。此时,应分别对拉应力和压应力建立强度条件,即运用正应力强度条件,可解决梁的三类强度计算问题：

(1)强度校核。在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸 (即已知 [σ]、Wz)以及所受荷载(即已知Mmax)的情况下,检查梁是否满足正应力强度条件。

(3)确定许可荷载。如果已知梁的材料和截面尺寸 (即已知 [σ]、Wz),则先由强度条件计算梁所能承受的最大弯矩,即Mmax≤[σ]Wzymax,然后由Mmax与荷载的关系计算许可荷载。

【例6-3】 如图6-15所示,一悬臂梁长l＝1.5m,自由端受集中力F＝32kN 作用,梁由22a工字钢制成,自重按q＝0.33kN/m 计算,材料的许用应力[σ]＝160MPa。试校核梁的正应力。

解：(1)求最大弯矩。最大弯矩在固定端截面A 处,为

图6-15

(2)确定Wz。查附录,22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝309.8cm3。

(3)校核正应力强度。

所以,满足正应力强度条件。

本题若不计梁的自重

可见,对于钢材制成的梁,自重对强度的影响很小,工程上一般不予考虑。

【例6-4】 如图6-16 (a)所示,是由普通热轧工字钢制成的简支梁。受集中力F＝120kN 作用,钢材的许用正应力[σ]＝150MPa,许用切应力[τ]＝150MPa,试选择工字钢型号。

图6-16

解：(1)作梁的受力图,求支座约束力。作梁的受力图如图6-16 (b)所示,由平衡方程求得支座约束力：

(2)作梁的内力图。根据梁上的外力,作梁的剪力图和弯矩图如图6-16 (c)、 (d)所示。梁内最大剪力和最大弯矩分别为

(3)按正应力强度条件选择截面。由正应力强度条件得

查型钢表,选28b号工字钢,其抗弯截面系数为Wz＝534.29×103mm3,比计算所需的Wz 略大,故可选用28b号工字钢。

(4)对梁进行切应力强度校核。查型钢表得28b号工字钢的截面几何性质为

梁的最大切应力为(www.zuozong.com)

因为τmax ＝31.43MPa ＜[τ]＝100MPa,所以梁满足切应力强度条件,该梁可选用28b号工字钢。

【例6-5】 上形截面悬臂梁尺寸及荷载如图6-17所示,若材料的许用拉应力[σ]＋＝40MPa,许用压应力 [σ]- ＝160MPa,截面对形心轴z 的惯性矩Iz＝10180cm4,h1＝96.4mm,试计算该梁的许可荷载[F]。

解：(1)确定最大弯矩。作弯矩图如图6-17所示。由图可见,在固定端截面A 处有最大正弯矩,MA ＝0.8F。在C 截面有最大负弯矩,MC＝0.6F。由于中性轴不是截面的对称轴,材料又是拉、压强度不等的材料,故应分别考虑A、C 两截面的强度来确定许可荷载[F]。

(2)由截面A 强度条件确定[F]。截面A 弯矩为正,下拉上压。由强度条件得

图6-17

(3)由截面C 强度条件确定[F]。截面C 弯矩为负,上拉下压。由强度条件得

由以上的计算结果可见,为保证梁的正应力强度安全,应取[F]＝44.2kN。

(二)剪应力强度条件

与梁的正应力强度计算一样,为了保证梁能安全正常工作,梁在荷载作用下产生的最大剪应力,也不能超过材料的许用剪应力[τ],即剪应力强度条件为

对梁进行强度计算时,必须同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。一般情况下,梁的正应力强度条件为梁强度的控制条件,故一般先按正应力强度条件选择截面,或确定许可荷载,然后按剪应力强度条件进行校核。但在某些情况下剪应力强度也可能成为控制因素。例如,跨度较短的梁或者梁在支座附近有较大的集中力作用,这时梁的弯矩往往较小,而剪力却较大；又如有些材料如木料的顺纹抗剪强度比较低,可能沿顺纹方向发生剪切破坏；还有如组合截面(工字形等),当腹板的高度较大而厚度较小时,则剪应力也可能很大。所以,在这样一些情况下,剪应力有可能成为引起破坏的主要因素,此时梁的承载能力将由剪应力强度条件来确定。

【例6-6】 如图6-18 (a)所示的一个20a工字钢截面的外伸梁,已知钢材的许用应力 [σ]＝160MPa,许用剪应力 [τ]＝100MPa,试校核此梁强度。

解： (1)确定最大弯矩和最大剪力。作梁的剪力图、弯矩图,如图6-18 (b)、 (c)所示,由图可得

(2)查型钢表确定工字钢20a有关的量：

图6-18

(3)确定正应力危险点的位置,校核正应力强度。梁的最大正应力发生在最大弯矩所在的横截面C 的上、下边缘处,其值为

虽然σmax＞[σ]＝160MPa,但工程设计上允许最大正应力略超过许用应力。只要最大正应力不超过许用应力的5%,仍认为是安全的。

所以,认为该梁满足正应力强度条件。

(4)确定剪应力危险点的位置,校核剪应力强度。由剪力图可知,最大剪力发生在B左横截面上,其值Qmax＝20.25kN,该横截面的中性轴处各点为剪应力危险点,其剪应力为

所以,该梁满足剪应力强度条件。