横截面正应力计算及工作应力优化分析

取一等截面直杆,实验之前,在杆的表面刻画出两条垂直于轴线的横向线ab、cd 及平行于杆轴的纵向直线ef、gh [图4-2 (a)]。加上轴向拉力F 后可以观测到杆件的变形现象：

(1)横向线ab、cd 分别移到a′b′、c′d′位置,但仍保持为直线 [见图4-2 (a)中虚线],并且仍然垂直于杆轴线。

(2)纵向线ef、gh 分别伸长为e′f′、g′h′,但仍然保持与杆轴线平行 [见图4-2(a)中虚线]。

根据以上变形现象,可作出假设如下：轴向拉(压)时,变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面且与轴线垂直,这就是平面假设。

根据平面假设可以断定拉杆所有纵向纤维的伸长相等。又因材料是均匀的,各纵向纤维的性质相同,因而其受力也就一样。所以,杆件横截面上的内力即轴力是均匀分布的,即在横截面上各点的应力相等 [图4-2 (b)],其方向与轴力N 方向一致,故横截面上应力为正应力,即

这就是拉杆横截面上正应力的计算公式,它也适用于直杆压缩的情况。正应力符号与轴力的符号规定一样,拉应力为正,压应力为负。

图4-2

由于拉压杆横截面上各点的正应力相同,故求其应力时只需确定截面,不必指明点的位置。

实验证明：在靠近外力F 作用点处,拉压杆的变形不满足平面假设,应用式 (4-2)只能计算该区域内横截面上的平均应力。但根据圣维南原理,这一范围不大。因此,工程中一般将二力之间截面上各点的应力均用式(4-2)计算。

【例4-1】 一横截面为正方形的砖柱,分上、下两段,其受力情况、各段横截面尺寸如图4-3 (a)所示,F＝60kN,砖柱自重忽略不计,试求荷载引起的最大工作应力。

解：首先画立柱的轴力图,如图4-3 (a)所示。

由于砖柱为变截面杆,故需分段求出每段横截面上的正应力,再进行比较,确定全柱的最大工作应力。(www.zuozong.com)

图4-3

由上述计算结果可见,砖柱的最大工作应力在柱的下段,其值为1.31MPa,是压应力。

【例4-2】 图4-4 (a)所示为起重机机架,承受荷载FG＝20kN,若BC 杆和BD 杆横截面面积分别为ABC＝400mm2 和ABD ＝100mm2。试求此两杆横截面上的应力。

解：(1)求杆的内力。

取B 结点为研究对象,画受力图[图4-4 (b)]。

由平衡条件∑Fx＝0、∑Fy＝0得

图4-4

(2)求杆横截面上的应力。