如何计算谐振腔内的品质因数？

谐振器的品质因数有两种情况：一种是固有品质因数Q0；另一种是有载品质因数QL。下面分别讨论。

（一）固有品质因数

固有品质因数是对一个孤立（完整）的谐振器而言的，或者说，是谐振器不与任何外电路相连接（空载）时的品质因数。当谐振器处于稳定的谐振状态时，固有品质因数Q0的定义为

式中，W 是谐振器内总的储存能量；WT是一周期（T）内谐振器内损耗的能量。

设P 为一周期内谐振器中的平均损耗功率，则有WT=PT，这样，Q0就可写为

式中，ωr是谐振角频率。Q0是表征谐振器的损耗的大小、频率选择性的强弱和工作稳定性的一个重要参数。Q0大，表示损耗小、频率选择性强、工作稳定性高，但工作频带较窄；Q0小，则情况相反。在微波范围内使用的谐振器，由于其种类、形状、尺寸、材料、填充介质，以及工作模式和工作频率等因素的差异，因此它们的Q0值也有较大的差别。一般地讲，Q0的值在几千至几万，个别情况也有低于或高于这个范围内的值的。作为谐振回路，微波谐振器的Q0要比集总参数的低频谐振回路的Q0高得多。

由于本章讨论的主要内容是由金属空腔构成的谐振器，习惯上称为谐振腔，因此下面将更多地使用谐振腔这一术语。根据谐振腔内电磁场的结构（分布状态），就可以求出其固有品质因数Q0的值。下面推导Q0的一般表示式。

谐振腔内总的储能W 为

式中，We和Wm分别为腔内储存的电场能和磁场能。因为腔内的电磁场为纯驻波场，电场与磁场随时间变化时，其相位相差π/2，所以，当腔内各点的电场在某一时刻达到各自的最大值时，腔内各点的磁场皆为零。此时腔内总的储能W 可用下式计算

反之，当腔内各点的磁场在某一时刻达到各自的最大值时，腔内各点的电场皆为零。此时腔内总的储能W 则可用下式计算

式中，V 是腔内的容积；ε 和μ 分别为腔内填充介质的介电常数和磁导率；|E|和|H|分别为腔内电场强度和磁场强度的模（幅）值，它们是空间坐标的函数；E*和H*分别表示E、H 的共轭复矢量。在计算腔内的储能W 时，可近似地认为腔是无耗的，那么，在谐振状态下腔内总的储能保持恒定，而且电场能与磁场能是相等的（指最大值），在谐振过程中，电场能与磁场能之间的相互转换也是完全的，即式（5.1-22）与式（5.1-23）是相等的，都表示腔内总的储能W。

现在来计算腔内的损耗功率P。作为近似计算，假定腔内填充的介质是无耗的，P 只与腔壁内表面材料的电阻所引起的损耗有关，即

根据式（2.4-53），即

可知，因此P 又可写为(www.zuozong.com)

式中，|JS|为腔壁内表面上表面电流密度矢量的模值；|Hτ|为腔壁内表面上磁场强度切向分量的模值；|JS|和|Hτ|都是空间坐标的函数；RS为腔壁内表面材料的表面电阻率，其表示式即式（2.3-77）；S 为腔壁内表面的面积。根据式（5.1-20）、式（5.1-23）和式（5.1-25），即可得出固有品质因数Q0的表示式为

式中的δ 为高频电流在腔壁内表面上的趋肤深度，其表示式即式（2.3-78）。可见，只要知道了腔中谐振模式场结构的表示式、工作频率范围、腔体的形状、尺寸和材料等条件，就可以求出Q0的值。

为了能大致地看出Q0与腔的容积、腔壁内表面面积之间的关系，可将Q0的表示式改写一下，即令

式中，表示腔的容积V 内磁场强度模值的平方对于容积的平均值（容积能量密度）；表示磁场强度在腔壁内表面上切向分量模值的平方对于腔壁内表面面积S 的平均值（面积能量密度）。这样，Q0即可写为

对于工作模式已给定的腔体而言，是一常数，若用A 表示Q0表示式中的常数部分，则

可见，V/S 越大、δ 越小，则Q0就越高。因此，为了提高Q0，在能够抑制干扰模的前提下，应尽可能地使V 大一些，S 小一些，并选用电导率σ 较大的材料作为腔壁的内表面，而且表面粗糙度也尽量地小。

（二）有载品质因数

前面已讲过，固有品质因数Q0是对一个孤立（完整）的腔体而言的。实际上，一个腔体总是要通过孔（缝）、环或探针等耦合机构与外界（负载）发生能量的耦合。这样，由于外界负载的作用，不仅使腔的（固有）谐振频率发生了变化，而且还额外地增加了腔的功率损耗，从而导致品质因数的下降。通常把考虑了外界负载作用情况下的腔体的品质因数称为有载品质因数QL。因此QL可表示为

若仍用W 表示腔内总的储存能量，并用Pi表示腔本身的损耗功率，Pc表示外界负载上损耗的功率，PL表示一周期内总的损耗功率，则QL的表示式为

或写为

式中的ωr是谐振角频率，Q0是腔的固有品质因数，Qc称为耦合（或称外部）品质因数。为了说明腔体与外界负载之间的耦合程度，可以用耦合系数k 来衡量，它的定义为

对于一个腔体，当其他条件不变，而只改变它与外界负载之间的耦合程度时，其固有品质因数Q0可以认为是不变的，但是，耦合系数k 却是变化的。Qc越小，则k 越大，即耦合越紧；反之，则耦合越松。根据式（5.1-30）和式（5.1-31），还可以将QL写为

在一般情况下，QL与Q0之间可能有较大的差别，而且，由于负载或耦合情况的变化，同一个腔体的QL，也可能有较大的变化。