微带线特性阻抗及其等效相对介电常数的计算方法

若微带线是被一种相对介电常数为εr的均匀介质所完全包围着，并把准TEM 模当作纯TEM 模看待，并设L 和C 分别为微带线单位长度上的电感和电容，则特性阻抗为

相速vp为

但是实际的微带线是含有介质和空气的混合介质系统，因此不能直接套用上面的公式求特性阻抗。为了求出实际的微带线的特性阻抗Zc和相速vp，而引入了等效相对介电常数的概念。如果微带线的结构形状和尺寸不变，当它被单一的空气介质所包围着时，其分布电容为C0。实际微带线是由空气和相对介电常数为εr的介质所填充，它的电容为C1，那么，等效相对介电常数εre的定义为

即是说，可以把实际的混合介质系统想象成是由单一的、均匀的、相对介电常数为εre的介质所构成的系统，它和实际的混合介质系统的特性阻抗和相速是完全一样的。这样，实际微带线的特性阻抗即可表示为

式中，为在同样形状和结构尺寸的情况下、填充介质全部是空气时微带线的特性阻抗，且

由式（3.3-14）、式（3.3-15）和式（3.3-16）可知，所谓用准静态法求实际微带线的特性阻抗Zc，关键是求出静态场情况下的分布电容C0。求静态电容C0的方法有多种，其中常用的是保角变换法，下面只把用这种方法求出的结果写出来，以供查阅。

（一）导体带厚度为零时微带线特性阻抗的表示式

首先求空气介质时微带线的特性阻抗，然后再求充有其他介质时微带线的特性阻抗。

当导体带厚度t=0 时（这里为便于理论推导而做的假设，实际上不可能为零），空气介质微带线的特性阻抗的精确表示式为

式中，K（k′）和K（k）为第一类完全椭圆积分；k 和k′分别为其模数和补模数，它们是与微带线的结构尺寸有关的一个量。利用这个公式求是比较复杂的，因此通常可用由这个公式导出的求的近似公式。当w/h≤1 时，为

当w/h≥1 时，为

在0＜w/h≤10 的范围内，上述公式的精确度可达±0.25%；当w/h＞10 时，式（3.3-18b）的精确度约为±1%。

式（3.3-17）和式（3.3-18）是求的精确公式和由精确公式导出的近似公式。若导体带宽度w≫h，则计算的另一近似公式为

这个公式精确度差些，若要求稍微更精确些的计算，可采用下列的近似公式，即

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为了求出填充其他介质时微带线的特性阻抗Zc，还应知道等效相对介电常数εre。略去求εre的推导过程，而只把它的表示式写在下面，即

有时也可把εre写成下列形式，即

式中

称为填充系数，它表示εr＞1 的介质的填充程度，当q=0 时，εre=1，表示微带中填充的全部是空气介质；当q=1 时，εre=εr，表示微带线全被相对介电常数为εr的介质包围着。利用这些公式，当已知w/h 时，利用式（3.3-15）就可求出特性阻抗Zc。

在实际中利用上述的一些公式求Zc是相当烦琐的，而且经常遇到的是给定了Zc和εr，需要求出的是w/h，这样，若利用上述公式就更为不便。因此，在一般工程计算中常利用曲线或查表格来求Zc，或由给定的Zc和εr来确定w/h。图3.3-3 是空气填充的微带线的特性阻抗、q 与w/h 之间的关系曲线。利用这个曲线进行计算是比较方便的，下面说明它的使用方法。

若已给定w/h 和εr，需要求出的是微带线的特性阻抗Zc，其方法如下：首先在曲线图的纵坐标轴上找到w/h 的读数位置，过此点作平行于横坐标轴的直线，与的曲线和q 的曲线分别相交，相交点所对应的横坐标的读数即为和q，然后利用式（3.3-22）和式（3.3-15）即可求微带线的特性阻抗Zc。

图3.3-3 、q 与w /h 的关系曲线

若已给定微带线的特性阻抗Zc和εr，需要求出的是w/h，其方法如下：利用式（3.3-15），即，先用εr代替εre求出，过横坐标上的点作垂线，与图中的曲线相交，交点所对应的纵坐标即为w/h，过此w/h 点作平行于横坐标轴的直线，与图中的q 曲线相交，而求得q 值。由求得的q 值，利用式（3.3-22）求出εre，并利用式（3.3-15）求出新的值，再根据这个新的，重复上述的计算步骤，又会得到一组w/h、q 和εre的值，以及的值。不断地重复上述计算步骤，直到相邻两次计算出的εre值的相对误差小于1%为止，那么，根据最后一次求得的εre，即可求出，再根据，在曲线图中得出w/h，若再假定h 已知，则w 即可求出。

除上述的计算方法外，还有更为简便的方法，这就是直接查有关的表（见本章附录3.2），在这个表中给出了w/h、εre和Zc三者之间的对应数值，查找十分方便。对于表中未列出的数据，可采用内插法进行计算。

（二）导体带厚度不为零时微带线特性阻抗的表示式

前面讲的求微带线特性阻抗Zc的公式，是在假定导体带厚度t=0 的情况下求出的；而实际微带线中的t 不可能为零，而是具有一定的厚度。与t=0 时相比，t≠0 时导体带的边缘电容增加了，因此当这种增加效应不能忽略时，就不能直接利用前述的t=0 时的公式求Zc。但是，如果将t≠0 时边缘电容增加的影响等效为导体带的宽度增加了Δw，即把t≠0 时导体带的实际宽度w，用相当于t=0 时的等效宽度we来代替，那么，就可以利用前述的t=0 时的公式求Zc了。we、w 和Δw 之间的关系为

式中的Δw 可利用下面的一些公式计算。

当及时

当时

另外，也可以利用如图3.3-4所示的曲线求出Δw。

图3.3-4 Δw/t 与h/t 的关系曲线