麦克斯韦方程：电磁理论的核心

1864年，英国物理学家麦克斯韦（J.C.Maxwell）在总结前人的理论和实验的基础上，把电磁理论概括为一组偏微分方程，称为麦克斯韦方程。方程组不仅描述了电现象与磁现象的内在的、两者不可分离的、相互依赖的关系，而且，麦克斯韦还预言了电磁波的存在，计算出了电磁波在媒质中的传播速度与光在同一媒质中的传播速度相等，因此，有时也把电磁波在媒质中的传播速度称为光速。电磁波在真空中（近似地讲，在空气中）的传播速度与光在真空中的传播速度相等，都为3×108 m/s。据此，他预言，光也是电磁波，从而把电磁理论统一了起来，创立了光的电磁理论。1888年德国物理学家赫兹（H.R.Hertz）用实验的方法证实了电磁波的存在。麦克斯韦方程是研究宏观电磁现象的理论基础，麦克斯韦方程组包括积分方程和微分方程两种形式，对于不同的问题可选择其中的一种形式，或将两种形式结合起来应用。它对任何媒质，对静态场、时变场都是适用的，但对于微观领域（如分子、原子）的电磁现象是不适用的，即不能把它直接用于微观领域，而需要与量子力学相结合，构成量子电动力学，用以解决微观领域的问题。

（一）法拉第电磁感应定律

1819年丹麦科学家奥斯特（H.C.Oersted）发现了电流的磁效应，即在电流的周围产生了磁场；1831年英国物理学家法拉第（M.Farady）发现变化的磁场会产生电流。这两种现象所反映的是同一个事实：当被一个闭合回路l 所限定的闭合面内的磁通量发生变化时，就会在回路中产生感应电动势、感应电场和感应电流，而感应电流同样会产生磁场，这种现象称为电磁感应。感应电动势在回路中产生了推动电荷运动，并使之形成电流的感应电场E。感应电动势与E 的关系式为

的大小与被回路l 所限定面积内磁通量φ 对于时间的变化率成正比，即

这个式子只给出了感应电动势的大小，而未指出它的方向。1883年俄国物理学家楞茨经过实验得出了确定感应电流方向的法则，称为楞茨定律。该定律指出，闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，就是：当穿过由闭合回路所围成的闭合面的磁通增加时，感应电流所产生的磁场和原磁场方向相反，阻碍磁通量的增加，当原磁通量减少时，感应电流所产生的磁场和原磁场的方向相同，阻碍磁通量的减少，即感应电流所产生的磁通总是力图阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

将法拉第电磁感应定律和楞茨定律结合在一起，就构成了完整的法拉第感应定律，即

其中的负号（-），就是用数学语言表示了楞茨定律的含义。

需要指出的是，法拉第电磁感应定律最初是对由导体构成的回路而言的，尔后，麦克斯韦指出，无论是否有导体存在，也无论是在媒质或真空中，电磁感应定律都是适用的；若没有导体存在，就没有感应电流，但是由于磁场的变化而激发出的电场总是存在的。

近代科技发展的成果证实，麦克斯韦的这一假说是正确的。

（二）麦克斯韦方程

麦克斯韦方程有积分方程和微分方程两种形式。积分方程所反映的是有限大范围内（例如，闭合回路、闭合面）电磁场各量之间内在的联系规律，是电磁场状态的总的情况，它不反映所讨论的范围内每一点处场量之间内在的联系规律，而要了解每一点的情况，就需要利用微分方程。微分方程所反映的是，所讨论范围内各点处场量之间，以及场量对空间和时间的变化率与该点处场源密度之间的关系。知道了微分方程，再根据场量的初始条件和边界条件对方程求解，即可得出场量在所讨论范围内整体的分布状态和规律。这两种形式的方程组所描述的是同一个客观实体（电磁场），只是在描述方法上有“粗”“细”之分，就物理实质而言，两者没有本质上的差别，从这个意义上讲，积分方程和微分方程两者是等效的。积分方程和微分方程各有四个。下面讨论如何由积分方程推导出微分方程。

（1）根据法拉第电磁感应定律可知，有感应电动势，则必有感应电场E，根据电动势E 是非保守电场沿闭合回路l 线积分的定义，则有

又知，B 是磁感应强度矢量，即

当所选定的积分路径l 和由它所界定的面积是不变的，而只考虑B 随时间的变化时，上式则可写为

该式将变化的磁场与由它所产生的电场联系在了一起。这是用场量来表示的法拉第电磁感应定律的积分形式（积分形式的麦克斯韦方程之一）。

根据数学中斯托克斯（Stokes，英国数学家）定理可知，一个矢量场的旋度，它在以曲线l 为周界所限定的面积上的积分，就等于矢量场沿l 的线积分，因此有

该式对任意的由l 所界定的面积S 都是适用的，因此等号两边的被积函数应该相等，即

称为法拉第电磁感应定律的微分形式（微分形式的麦克斯韦方程一）。该方程表示，电磁场中任一点处电场的旋度等于该点处磁感应强度对时间变化率的负值，其物理意义是，随着时间变化的磁场可以产生电场。

（2）根据电磁场理论可知，当考虑了位移电流的影响之后，安培（A.M.Ampere，法国物理学家）环路定律为

式中，H 是磁场强度矢量，J 是传导电流密度矢量，D 是电位移矢量，∂ D/ ∂t是D 对于时间的变化率，称为位移电流密度矢量。这是安培环路定律的积分形式（积分形式的麦克斯韦方程之一）。该式将变化的电场与由它所产生的磁场联系在了一起。

根据斯托克斯定理可得

因此有

称为安培环路定律的微分形式（微分形式的麦克斯韦方程之一）。该方程表示，电磁场中任意一点处磁场的旋度，等于该点处的传导电流密度矢量和位移电流密度矢量的和，其物理意义是，不仅电流J 可以产生磁场，而且随着时间变化的电场也可以产生磁场。

在上式中，一般情况下，J 包括传导电流密度矢量（带电粒子在导电媒质中运动所形成的电流）和运流电流密度矢量（带电粒子或带电物体在空间运动所形成的电流）这两部分电流。∂ D/ ∂t是位移电流密度矢量（简称位移电流），这是麦克斯韦于1862年所发表的一篇论文中首次提出的一个很重要的物理概念。位移电流是D 对于时间的变化率，在电场中只要D随时间变化，就会有位移电流存在，就会激发出磁场。由此可见，在媒质中甚至在真空中，都可以产生位移电流。在一般情况下（例如电磁波的频率不甚高），在导电媒质（导体）内传导电流是主要的，位移电流很小，可以忽略；在非导电媒质（介质）中位移电流是主要的，传导电流很小，可以忽略。需要指出的是，位移电流不同于传导电流和运流电流，它不是由真实电荷流动而形成的电流，它只表示D 对于时间的变化率；之所以也把它称为“电流”，是因为它在激发磁场方面与传导电流和运流电流是等效的，而在其他方面，两者之间是有区别的，例如，传导电流在流过导体时会发生热效应，而位移电流在导体中则没有热效应，位移电流也无法去直接测量。位移电流最早是作为假说而提出来的，经过实践证明，这个假说是正确的。

（3）我们已知磁感应强度矢量B 对一曲面S 的积分称为它穿过这个曲面的磁通mφ，即

如果S 是一闭合曲面，则有

这是磁感应强度矢量连续性定理的积分形式（积分形式的麦克斯韦方程之一）。

根据数学中的高斯定理（C.F.Gauss，德国数学家）可知，如果一个矢量场的散度可以求出来，那么，求散度的体积分就可以转化为该矢量对于体积外表面S 的面积分，即

这就是电磁场理论中所讲的磁场的高斯定律的积分形式（积分形式的麦克斯韦方程之一）。根据式（2.1-18），则可得下式：

这是高斯定律的微分形式（微分形式的麦克斯韦方程之一）。(www.zuozong.com)

方程（2.1-20）的物理意义是，电磁场中任一点处磁感应强度矢量的散度恒等于零，就像式（2.1-18）中的mφ=0 一样，说明磁力线永远是闭合的，或者说单极的磁荷是不存在的。

（4）我们已知电位移矢量D 对一个曲面S 的积分称为它穿过这个曲面的电通量eφ，即

如果S 为一闭合曲面，则有

Q 为闭合曲面内的电荷量。这就是反映电场基本性质的高斯定律的积分形式（积分形式的麦克斯韦方程之一）。若闭合面内电荷的体密度为ρ，根据数学中的高斯定律则有

该式对于任意的体积而言都是适用的，因此有

称为电场的高斯定律的微分形式（微分形式的麦克斯韦方程之一）。该方程的物理意义是，电磁场中任一点处电位移矢量的散度等于该点处电荷的体密度。

以上所讲，是从麦克斯韦方程的积分形式利用有关的数学定理推导出了与其相对应的微分形式的方程；同样地，若仍利用有关的数学定理对上述过程进行逆向运算，则可由微分形式的方程推导出积分形式的方程。它们相互之间的这种内在联系，正如前面已讲过的，积分方程和微分方程在描述电磁现象方面，两者是等效的、统一的。麦克斯韦方程用数学式子概括了电磁场的基本性质和电场与磁场之间相互依存、相互转换的规律，是研究宏观电磁现象的理论基础。

需要说明的是，以上所讲的麦克斯韦方程，无论是积分形式的，还是微分形式的，它们所表示的都是场量之间的瞬时值的关系式，后面还要讨论在场量随时间的变化规律是余弦函数的情况下复数形式的麦克斯韦方程。

为了对麦克斯韦方程的积分形式和微分形式有一个直观的比较，现将它们之间的对应关系列在下面。

在上面的方程中含有5 个矢量函数和一个标量函数，独立方程的个数少于未知函数的个数，方程不存在唯一的解，为了使方程有确定的解，还需要补充下列三个方程，称为物质方程或附加条件：

不同的媒质具有不同的电磁性质，在宏观范围内，可以用ε、μ、σ 等参数来表征这种性质，参数不同，对电磁场的反映不同。ε、μ、σ 分别称为媒质的介电常数、磁导率、电导率，如果这些参数不随场强变化则称为线性媒质，若也不随场强的方向变化，则称为各向同性媒质（反之，则称为各向异性媒质），若不随空间位置变化则称为均匀媒质。在静态场中，这些参数都是实数，而且，对于线性、均匀、各向同性的媒质而言，均为常数。但在时变电磁场中，这些参数会随频率而变化（称为色散现象），也就是说，在频域内μ、ε 不再是实常数，而是一个复数，其实部仍表示媒质的电磁性质，而虚部则表示对电磁能量的损耗程度。σ 虽然也是频率的函数，但在很宽的频率范围内，它随频率的变化极小，因此，可近似地把它看作是实常数。

有了上述的附加条件之后，就可以根据电磁场应满足的边界条件和初始条件（参考时间t=0 时电磁场的状态）对方程求解，从而得出电磁场在空间每一点处的分布状态，以及不同时刻各场量之间的关系。

由以上所述可知，在一般情况下，时变电磁场中的电场，是由电荷所激发的电场与由随时间变化的磁场所激发的电场的矢量和；磁场是由传导电流和运流电流所激发的磁场与由位移电流所激发的磁场的矢量和。麦克斯韦方程组对于静态的电场和磁场也是适用的，因为可以把这种情况看成一个特例。

由电磁场理论可知，微分形式的麦克斯韦方程组是在场量为空间和时间的连续函数（包括场量对空间和时间的导函数也是连续的）条件下得出的，因此它的应用范围应与该条件相适应。在不同媒质的分界面上，因为媒质的参数（μ，ε，σ）发生突变，并引起场量的突变，所以，微分形式的麦克斯韦方程组已不再适用，在这种情况下，为了确定分界面上场量之间的关系，应该采用积分形式的麦克斯韦方程组，据此即可推导出不同媒质分界面上场量的边界条件。

稳态的电磁波，先由场源（电流或电荷）所激发，而后从激发点开始，离开场源向外传播。电磁波随时间的变化规律可以是任意的，至于随时间变化的具体规律是什么，这取决于场源随时间的变化规律。在微波中通常遇到的是，在远离场源时，电磁波在媒质或传输线（广义的）中的传播问题。

对于上述各量通常都采用SI 单位制（国际单位制）：

E——电场强度矢量，V/m（伏［特］/米）

D——电位移矢量，C/m2（库［仑］/米2）

H——磁场强度矢量，A/m2（安［培］/米2）

B——磁感应强度矢量，Wb/m2=1T（韦伯/米2=1 特［斯拉］）

J——传导电流密度矢量，A/m2（安［培］/米2）

ρ——电荷体密度，C/m3（库仑/米3）

σ——媒质的电导率，S/m（西［门子］/米）

μ——媒质的磁导率，H/m（亨［利］/米）

ε——媒质的介电常数，F/m（法［拉］/米）

在自由空间（理想的真空，近似地讲，空气）中μ 和ε 分别为

若用μr和εr分别表示媒质相对于真空的磁导率（相对磁导率）和介电常数（相对介电常数），则有ε=εrε0，μ=μrμ0。

在此需要说明的是，书中经常用到“媒质”和“介质”两个术语，两者的含义是不同的，其中，不导电的媒质称为电介质，简称介质。（详见本章附录2.3）