圆锥截交线的特性与应用

1.圆锥表面截交线的5种情况

根据截平面与圆锥体轴线的不同位置，平面与圆锥体相交的截交线可分为圆、椭圆、抛物线加直线、双曲线和三角形5种基本情况，见表3.2。

这5种情况可归纳为两大类：一类为特殊情况，即截平面过锥顶和截平面垂直于圆锥轴线，此时截交线为直线或圆，其投影可以直接作出；另一类为一般情况，即圆锥表面的截交线为平面曲线，曲线的一个投影已知（在已知截平面的积聚性投影上），由于截交线为截平面和圆锥表面的共有线，即曲线又在圆锥表面上，通过圆锥表面取点的方法（辅助纬圆法），求出曲线上的特殊点和一般点，最后光滑连线，画出截交线的投影，由于截断面是由截交线围成，从而完成截断面的投影。

表3.2　圆锥的截交线

2.应用举例

例3.7　如图3.23所示，圆锥被过锥顶和垂直于圆锥轴线的平面切割，求其侧面投影。

作图步骤：

（1）双点画线或细实线画出完整圆锥的侧面投影。

（2）分析截断面的空间形状和投影形状，画出截断面的投影。圆锥表面截交线有5种情况，垂直于圆锥轴线的截断面的空间形状为圆（图中为圆的左半部分），由于该截断面为水平面，水平投影反映圆的实形，其他两个投影积聚为两个平行线段。通过分析，作出水平截断面的投影。

过锥顶的截断面空间形状为等腰三角形SAB，该截断面为正垂面，正面投影积聚为倾斜线段，其他两个投影为类似的三角形。截交线在圆锥表面上，通过表面取点的方法，作辅助纬圆求出A，B两点的水平投影a和b，再利用点的投影关系求A，B两点侧面投影a″，b″。分别求出三角形三个顶点的投影，连线即可得到过锥顶的截断面的投影，如图3.23（b）所示。

（3）整理轮廓线。去掉圆锥侧面投影中最前最后轮廓线的上部分，加粗其他投影，完成全图。(www.zuozong.com)

图3.23　过锥顶和垂直于轴线的平面切割圆锥

例3.8　如图3.24所示，圆锥被正平面切割，求截交线的投影。

图3.24　正平面切割圆锥

作图步骤：

（1）画完整圆锥的投影。

（2）分析截断面的空间形状和投影形状，画出截断面的投影。

该截断面没有通过锥顶或垂直于圆锥轴线，截断面的空间形状为平面曲线和直线围成的平面线框，曲线部分则需要描点。

①求特殊点。点Ⅲ为最高点，是截平面与圆锥最前素线的交点，可由其侧面投影3″直接作出正面投影3′。点Ⅰ，Ⅱ为最低点且位于圆锥底圆上，可由水平投影1，2直接作出正面投影1′，2′。

②求中间点。用辅助圆法，在点Ⅲ与点Ⅰ，Ⅱ间作一辅助圆，该圆与截平面的两个交点Ⅳ，Ⅴ是截交线上的点。作出这两点的水平投影4，5与侧面投影4″，5″，据此可求出他们的正面投影4′，5′。

③连点成线。依次将1′，4′，3′，5′，2′各点光滑地连接起来，即为截交线的投影，如图3.24（b）所示。