棱锥的投影及表面点取方法分析

棱锥底面为多边形，各棱线汇交于一点（锥顶），各侧面为若干具有同一顶点的三角形，棱锥顶点到底面的距离称为棱锥的高。当棱锥的底面是正多边形，各侧面为全等的等腰三角形时，称为正棱锥。

1.棱锥的投影

图3.4为一个正三棱锥的投影，底面为水平面，水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成一直线。棱面三角形SAC为侧垂面，侧面投影积聚成一直线，水平投影和正面投影都是类似形；棱面三角形SAB和三角形SBC为一般位置平面，其三面投影均为类似形；棱线SB为侧平线，棱线SA，SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB，BC为水平线。

画棱锥三投影时，一般先画底面和顶点的投影，再画其他棱线的投影，并判断可见性，作图步骤如下：

（1）先画正三棱锥底面三角形ABC实形的水平投影和其他有积聚性的另两个投影，再根据正三棱锥的高度定出锥顶S的三面投影，如图3.4（b）所示。

（2）画出各棱线的投影并加粗，如图3.4（c）所示。

图3.4　正三棱锥的投影

2.棱锥表面上取点

正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置上的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图；一般位置平面上的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。

如图3.5所示，已知棱面表面上点的正面投影m′和正面投影（n′），作M，N的其他两面投影。(www.zuozong.com)

作图步骤：

（1）空间分析。

先判断M在棱锥哪个表面上。因为m′在棱锥的左边且可见，所以点M必在棱锥的左前棱面三角形SAB上。

图3.5　正三棱锥表面上点的投影

（2）分析该点所在平面的投影特性，利用点在平面上的投影作图方法，作出该点的投影。

棱面三角形SAB为一般位置平面，可采用辅助线法，过点M在平面上作一条辅助直线SK，与底边AB交于点K，利用点在直线上的投影规律，作出SK的水平投影，由于点M属于直线SK，M的水平投影m必在直线SK的水平投影sk上，进而求出M的水平投影，再根据m、m′求出m″。

（3）判断点投影的可见性。

点投影的可见性的判别原则是若点所在面的投影可见（或有积聚性），则点的投影也可见。由于棱面三角形SAB的水平投影和侧面投影均可见，所以m和m″均可见。

如图3.5所示，已知点N的正面投影不可见，所以N点必在棱锥的后面，即三角形SAC上，该面为侧垂面，侧面投影积聚为一直线，可先利用其侧面投影的积聚性求得n″，再由n′、n″即可求出水平n并判断水平投影的可见性。