微分与积分的电路运算

（1）微分电路

将反相比例运算电路中的R1 换成电容C，就是微分运算电路，如图9.11 所示。由于有i-≈0，u-端为虚地，故

于是

即

上式说明了输出电压uo与输入电压ui的微分成正比。

（2）积分电路

将反相比例运算电路中的RF换成电容CF，则成为积分运算电路，如图9.12 所示。同样，由于有u-=0，i1≈iF，故i1=ui/ R1，而iF是流经电容C 的电流，所以有

且

所以

上式说明，输出电压uo与输入电压ui 的积分成正比。若ui 为直流电压Ui，则(www.zuozong.com)

图9.11　微分运算电路

图9.12　积分运算电路

可见uo与时间t 具有线性关系，输出电压将随时间的增加而线性增长。图9.13 所示ui为正向阶跃电压时，微分运算电路与积分运算电路的输出电压波形。由图9.13（b）可知，当积分时间足够大时，uo达到集成运放输出负饱和值-Uo（sat），此时运放进入非线性状态。若此时去掉信号（ui=0），由于电容无放电回路，输出电压uo维持在-Uo（sat），当ui变为负值时，电容将反向放电，输出电压从-Uo（sat）开始增加。

图9.13　阶跃电压作用下的微分与积分电路输出电压波形

图9.14　PID 放大器

[例9.2]　试求如图9.14 所示电路的uo与ui的关系式。

解　由反相输入方式可知

上式表明，在图9.14 所示电路中，输出电压uo与输入电压ui之间有比例（比例系数为R2/R1 +C1/C2）、微分（微分时间常数为R2C1）和积分（积分时间常数为1/R1C2）的关系。显然，这些系数是互相牵连而不能独立调节的，而且uo和ui在相位上是相反的。这种电路称为PID 放大器，在自动控制系统中经常用到。