RC电路时间常数的计算方法

RC 电路暂态过程进行的快慢是由时间常数τ 决定的，而τ=RC，所以实际上是由电路的参数（R 和C）所决定。C 越大，充到同样电压所需的电荷也越多，而电荷的积累是需要时间的，所以uC（t）上升就越慢。R 越大，充电电流越小，要积累同样多的电荷就需要更长的时间，所以uC（t）上升也越慢。τ=RC 中，R 的单位是欧[姆]（Ω），C 的单位是法[拉]（F），τ 的单位是秒（s），τ 越大，充放电越慢，暂态过程延续的时间就越长。图4.8 表示了时间常数不同uC（t）变化的规律。

图4.8　时间常数对波形图的影响

时间常数τ 的物理意义可参照式（4.12）来进一步说明，当t=τ 时

时间常数τ 在数值上等于uC 从零增长到稳态值U 的0.632 倍所需要的时间，如图4.8 所示。可以证明，指数曲线上任意一点的次切距的长度都等于τ，以初始点为例

也可以这样来理解时间常数的物理意义：式（4.19）说明uC 以起始速度从起始值到稳定值uC（∞）所需要的时间就等于时间常数τ。它可以在uC 的波形上从t=0 时作一条切线，它与稳态值的图像交点A 的横坐标就是时间常数τ。

理论上，暂态过程所延续的时间t=∞，但在工程上一般认为t=（3～5）τ 之后，暂态过程就基本上结束，由此而产生的误差是在允许范围之内的。

当电路中R 和C 的参数已知后，可按公式τ=RC 计算τ 值（后面将讨论RL 电路，它的时间常数τ=L/R）。但对于含多个电阻的电路，其τ 值中的电阻R 理解为电路里由储能元件两端看入的等效电阻。如图4.9 所示，R 为换路后网络除源（理想电压源短路，理想电流源开路）的等效电阻。

电容C（或L）也是换路后的等效值，如果遇到多个C（或L）串并联，则应先将它们化简，求出等效电容C（或电感L）。

[例4.4]　如图4.10 所示电路，C1=1 μF 的电容器充电到uC1（0+）=100 V，通过R=75 Ω 的电阻分电到C2=2 μF（并已充电到uC2（0+）=25 V）的电容器上，试求电容器电压随时间变化的规律。

图4.9　τ 中的电阻R

图4.10　例4.4 的图

解　两电容串联的等效电容为

故时间常数

(www.zuozong.com)

初始值uC1（0+）=100 V，uC2（0+）=25 V。

当t=∞时，i=0，故uC1（∞）=uC2（∞），又因为两电容的电荷总值应不变，故

由此二式解出

因此得出

在具有开关的电路中，由于开关倒向位置不同，电路的结构不一样，与之联系的电路的时间常数也会随之变化，应分别计算，如图4.11所示。

图4.11　τ 值的计算

当开关S 断开时，时间常数为

当开关S 接通时，时间常数为

上面研究了RC 电路在充电和放电时电容器两端电压的变化规律，电路参数对这些变化规律的影响；介绍了经典法，并着重介绍了三要素法分析电容两端电压变化规律的一般步骤。

三要素法不仅可以用来求解电容电压，也可以用于求解电路中其他的变量，如电容电流、电阻电压等，所以式（4.15）用一般的数学式表示如下

f（0+）为换路后该变量的初始值，计算方法在第4.1.2 节换路定律中已详细述及。注意，除了电容器两端的电压和电感中的电流不能突变之外，其他量都是可以突变的。

f（∞）为换路后该变量的稳定值，即t=∞时瞬变过程终将结束。在恒定电压（或电流）作用下，电感电压uL 和电容电流iC 终将变为零。稳定后，电感相当于短路，电容相当于开路，可用网络分析的方法计算变量的稳态值。

τ 是时间常数，因为整个电路的变化规律都受储能元件影响，因此它的分析计算方法以及大小都和电容器两端电压变化规律中τ 的计算是一致的。