α-β坐标系下的状态方程和输出方程

选取定、转子电流作为状态变量，则从电压方程式（3-22）可得如下联立方程：PL_si_αs+PMi_αr=-R_si_αs+u_αsPL_si_βs+PMi_βr=-R_si_βs+u_βs （3-28）PMi_αs+PL_ri_αr=-ω_reMi_βs-R_ri_αr-ω_reL_ri_βrPMi_βs+PL_ri_βr=ω_reMi_αs+ω_reL_ri_αrR_ri_βr

由此得到坐标系下的状态方程为：

式中，σ为漏感系数，σ=1-M²/（L_sL_r）。

在α-β坐标系下，感应电动机的电压方程、状态方程及输出方程的描述中，除采用上述所有量都用实数表示的方法以外，还有一种是利用相量或复数表示的方法。通常把α轴设定为相量的实部，把β轴设定为相量的虚部，方程中把定子电压、定子电流和转子电流分别表示成u_s=u_αs+ju_βs、i_s=i_αs+ji_βs、i_r=i_αr+ji_βr。利用相量来表示电压方程和状态方程后，得到的好处是，系统的维数将从四维降为二维，分析方程得到很大程度的简化。

当对所研究的电机系统进行正弦稳态分析时，所有物理量都利用相量来表示，这时各个方程的具体表达式变化如下。

用相量来表示后，α-β坐标系下的电压方程式（2-23）变为如下表达式：

从此电压方程可得到α-β坐标系下的感应电动机等效电路。如图3-9所示。图中，Ψr表示转子磁链（与转子绕组交链的磁链），其表达式如下：Ψ_r=Mi_s+L_ri_r （3-31）

在图3-9中，所有电压、电动势、电流都是角频率为ω的交流量。对照图3-8的T形等效电路，图3-8只是反映某一相成分的等效电路，而图3-9中同时含有α-β坐标系下α、β相成分。还有在图3-8中，用ω_reR_r/ω_se消耗的功率来等效表示总机械输出功率，而在图3-9中，用运动电动势e_r输出的有功功率来等效表示总机械输出功率。

图3-9 α-β坐标系下感应电动机等效电路

图3-9中各参数关系如下：

运动电动势e_r输出的有功功率为Re[e_ri_r^∗]=Re{jω_re[M（i_αs+ji_βs）+L_r（i_αr+ji_βr）]（i_αr-ji_βr）}=ω_reM（i_αsi_βr-i_βsi_αr）=-ω_rePM（i_βsi_αr-i_αsi_βr） （3-33）

把α-β坐标系下的转矩公式（3-27）代入上式，有Re[e_ri_r^∗]=-ω_fmT_e （3-34）

式中，Re为取实部的运算符；上标∗表示共轭复数。从式中可知，运动电动势e_r输出的有功功率值有负号，说明运动电动势吸收有功功率，即向负载输出有功功率，感应电动机处于电动状态。(www.zuozong.com)

用相量来表示后，α-β坐标系下的转矩公式（3-27）变为如下表达式：T_e=PMIm[i_ri_r^∗]=PMIm[（i_αs+ji_βs）（i_αr-ji_βr）] （3-35）

式中，Im为复数取虚部的运算符。

用相量表示后，α-β坐标系下的状态方程式（3-29）变为如下形式：

用矩阵（矢量）和相量表示相同物理量时，参数之间有如下关系：

通过这种关系可以很方便地进行电压方程或状态方程中相量和矢量的转换。

以上的电压方程、状态方程和转矩公式都是以定子、转子电流i_s、i_r作为状态变量，下面介绍以定子电流和转子磁链作为状态变量时的电压方程、状态方程和转矩公式。

从转子磁链表达式（3-31）得到转子电流i_r后，代入电压方程式（3-30），就可得到α-β坐标系下的电压方程

式中，σ为漏感系数，σ=1-M²/（L_sL_r）。

把i_r换做Ψ_r后，转矩公式（3-35）变为如下形式：

从电压方程式（3-38）可得以i_s、Ψ_r作为状态变量的状态方程，其结果如下：