特征分解：矩阵的特征值与特征向量乘积

特征分解（Eigendecomposition）是指将矩阵分解为一组特征值与特征向量的乘积。设A是n阶方阵，如果存在实数λ和n维非零列向量x，能使

成立，则将λ称为矩阵A的特征值，将非零向量x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。式（2.16）也可以写为

这是一个含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件为系数行列式

通过求解上式，即可得到矩阵A的所有特征值及其对应的特征向量。

如果x是矩阵A的特征向量，则任何缩放后的向量s x（s∈R，s≠0）也是矩阵A的特征向量，且s x与x有相同的特征值。因此，我们通常只考虑单位特征向量。假设矩阵A有n个线性无关的特征向量v1，v2，…，vn，它们分别对应于特征值λ1，λ2，…，λn。我们将特征向量连接成一个矩阵，即V＝[v1 v2 … vn]。与之类似，我们也可以将特征值排列成一个向量λ＝（λ1，λ2，…，λn），并以此构造对角矩阵Λ。因此，矩阵A的特征分解可以记作：A＝VΛV－1。

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只有可以对角化的矩阵才能进行特征分解。

在此，给出矩阵对角化的定义：对于n阶矩阵A和B，若存在可逆矩阵P，能使

成立，则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，或者说矩阵A与矩阵B相似。式（2.20）的这一过程即对矩阵A进行相似变换，我们把可逆矩阵P称为矩阵A到矩阵B的相似变换矩阵。当矩阵B为对角矩阵Λ时，可通过相似变换矩阵P，使

式（2.21）的这一过程就称为矩阵A的对角化。