双层药型罩EFP形成理论分析

3.3.2.1　厚度方向速度差的影响

大锥角和球缺形的双层药型罩都可形成串联EFP毁伤元。而球缺罩可以看作变锥角的大锥角罩，因此在理论分析时仅对大锥角双层药型罩进行分析，在建立模型时仅需将每个微元的锥角改为相应的函数形式即可得到球缺罩的分析模型。

如图3.11所示，微元径向速度用表示，轴向速度用表示，微元径向位置用yi表示，微元轴向位置用xi表示，微元厚度方向速度差的最大值用ξhd表示（ξhd为正表示头部速度大，反之表示头部速度小）。

1.大锥角单层药型罩形成EFP的物理图像

图3.11　药型罩分析坐标系

大锥角单层药型罩在爆轰产物作用下的压垮和翻转过程十分复杂，而且时间短暂（仅有几十微秒）。仅靠试验手段无法把握其全貌，本书借助形成过程数值仿真结果，在对物理图像进行分析和总结后，归纳出大锥角单层药型罩成型过程中厚度方向速度差的成因。

对大锥角单层药型罩中心点起爆形成EFP的过程进行数值计算。数值模型及测量点位置如图3.12所示。药型罩的半锥角α=75°，壁厚为3 mm。图3.13所示为大锥角单层药型罩前期形成EFP过程中几个典型的形状。

图3.12　大锥角单层药型罩的数值模型及测量点位置

图3.13　大锥角单层药型罩（150°）的前期形成EFP过程

从仿真结果可以看出：罩顶部分压垮到轴线上，在厚度方向产生了很大的压缩变形；药型罩的中间部分没有压垮到轴线上，但产生了一定的压缩变形；罩底部分则产生了拉伸变形，事实上这部分经常以崩落环的形式与药型罩脱离。压缩变形与拉伸变形的产生是由药型罩在厚度方向速度差ξhd造成的。

2.厚度方向速度差ξhd与径向位置yi的关系

对于图3.12所示的例子，从起爆开始50μs内，不同径向位置的微元头、尾速度曲线如图3.14所示。图中，rz表示药型罩底端半径，虚线为头部速度曲线，实线为尾部速度曲线。

图3.14　微元的ξhd与yi的关系

（a）yi=0；（b）yi=0.35rz；（c）yi=0.55rz；（d）yi=0.9rz

从仿真结果可以看出：

（1）随着yi的增大，微元的ξhd在减小，在减小到零后，会反向增大，即出现尾部速度大于头部速度的现象。

（2）当yi大于一定值后，微元的ξhd数值很小，可以忽略。

（3）随着yi的增大，微元出现ξhd的时间变化不大，说明每个微元的最大头、尾速度差几乎是同时出现的。

本书认为，微元厚度方向速度差ξhd的产生是由药型罩的径向压缩造成的，而径向压缩是由药型罩的径向速度引起的。

3.径向速度与径向位置yi的关系

爆轰波开始作用于药型罩一段时间后，爆轰波阵面越过了药型罩的尾部，经典的PER理论假设，此时药型罩大部分微元获得了压垮速度。数值仿真得到的的径向分量的分布如图3.15所示。

图3.15　药型罩A、B两点间的径向速度分布（t=10μs）

可以看出：随着yi的增大，的绝对值先增大后减小，减小到零后反向增大。根据Gurney公式，虽然微元的极限压垮速度是随着yi的增大而单调减小的，但靠近轴线的微元无法加速到就被压垮了，因此会有个先增大的过程。而靠近罩底的微元压垮角已经大于90°，因此其径向速度是远离轴线的。

4.EFP变形的3个区域

对大锥角单层药型罩形成EFP现象进行仿真和试验研究，结果表明：大锥角单层药型罩在形成EFP时既有压垮过程，也有翻转过程。翻转过程是因为微元的径向速度不足以克服材料的动态屈服强度σyd，无法压垮到轴线上。如图3.16所示，假设大锥角单层药型罩可以被分为3个区域：压垮区域FYK，压缩区域FYS和拉伸区域FLS。

图3.16　大锥角单层药型罩的变形区域

（a）药型罩变形前；（b）药型罩变形中

（1）当微元的径向速度的绝对值大于临界值v*时，足够克服材料的屈服强度σyd，这些微元对应压垮区域FYK，FYK内的材料将被压垮到轴线上，此后的运动状态与小锥角药型罩射流压垮类似，而由此产生的轴向的速度差ξhd可由流体动力学理论对其进行解析。

（2）当v*＜＜0时，对应压缩区域FYS，此区域药型罩的运动过程比较复杂，材料屈服强度σyd不能被忽略，力学行为接近热塑性体。材料的径向速度除了克服σyd转变成塑性变形能和热能外，剩余部分转变为轴向的速度，这个区域的厚度方向速度差可以通过动量守恒和能量守恒获得。但从图3.14（c）可以看出，这部分的厚度方向速度差并不大。

（3）当＞0时，对应拉伸区域FYS，此时厚度方向速度差ξhd＜0，即微元头部速度小于尾部速度，此区域将发生拉伸变形，变得很细长。当材料的拉伸应力大于其屈服强度以后，会发生断裂，从而形成崩落环。对于双层药型罩来说，在拉伸区域，虽然开始阶段外罩微元的轴向速度大于内罩微元，但经过动量交换最终速度会相等，因此，仅从双层药型罩的最终速度来看，对这一区域可以不予考虑。

从上面的分析可以看出：爆轰波作用后药型罩变形过程当中，在压垮区域和压缩区域产生了厚度方向速度差ξhd。此后，随着微元头部对尾部的牵连作用，ξhd逐渐减小。假设厚度方向速度差ξhd出现后，在药型罩内、外轮廓之间产生一个与内轮廓或外轮廓平行的自由表面，即此时产生一个假想的内罩和外罩，则两罩将因厚度方向速度差ξhd而逐渐分离。本书认为，压垮区域和压缩区域产生的厚度方向速度差ξhd是导致双层药型罩前、后EFP分离的主要原因之一。

3.3.2.2　材料冲击阻抗的影响(www.zuozong.com)

为了满足一定的需要，双层药型罩一般会采用不同的内、外罩材料，而不同材料的冲击阻抗势必对冲击波在内、外罩的传播造成一定影响，从而最终影响双层EFP的速度。

1.材料冲击阻抗对冲击波的影响

爆轰产物与双层药型罩作用时，入射冲击波并不一定垂直于边界，因此会发生反射和折射，这些现象遵循光学中的Snell定律和电学中的楞次定律，Rinehart的工作给出了这些波的振幅求法。本书仅讨论最简单的情况，即入射冲击波是垂直于边界的。冲击波从一种介质传入另一种介质，在传播过程中，冲击波的压力和波速在不同的介质中会发生变化。本书研究的材料厚度不大，因此假设冲击波在材料中传播时没有衰减。

分析冲击波在不同介质中传播问题的原则与一维杆中弹性波的讨论类似，要求不同介质界面上要满足压力和速度均连续。但与线性弹性波不同的是：（1）当反射冲击波是进一步压缩加载的冲击波时，反射冲击波的终态点应落在以反射冲击波前方状态为初态点，即新的心点的Hugoniot冲击曲线上，而不是落在以入射冲击波的初态点为心点的Hugoniot冲击曲线上。（2）当反射波是膨胀卸载的稀疏波时，其卸载曲线由材料的等熵膨胀线确定。

定义冲击阻抗为初始密度和冲击波波速的乘积，可以近似用材料的初始密度和声速之乘积来表示。设外层材料冲击阻抗为RA，内层材料冲击阻抗为RB；外层材料初始密度为ρ1，声速为C1；内层材料初始密度为ρ2，声速为C2；外层与内层材料的冲击阻抗则为。

先讨论冲击波从低阻抗材料入射到高阻抗材料的情况，如图3.17所示，即压力值为p1的平面冲击波D0从材料A中右行传播入射到材料B中（RA＞RB）。设材料A、B原来都处于未扰动状态，对应于p-u图中的0点，入射冲击波使材料A从0点沿Hugoniot冲击曲线运动到1点，入射冲击波到达两材料的界面时由于冲击波阻抗的不同将发生反射和透射。根据不同介质界面上满足压力p和质点速度u均连续的要求，可以推导出，反射波DR使材料A从状态1进一步压缩加载到状态2，而透射波DT则使材料B从未扰动状态0压缩加载到状态2的冲击波。而2点是材料B以0为心点的正向Hugoniot冲击曲线，与材料A以1为心点的负向Hugoniot冲击曲线的交点。显然，透射冲击波的强度高于入射冲击波。

再讨论冲击波从高阻抗材料入射到低阻抗材料的情况，如图3.18所示，p1的平面冲击波D0从材料A中右行传播入射到材料B中（RA＜RB）。A、B对应于p-u图中的0点，入射冲击波使材料A从0点沿Hugoniot冲击曲线运动到1点，当冲击波传播到分界面后，根据不同介质界面上满足压力p和质点速度u均连续的要求，可以得出：两材料的界面上将发生卸载反射。反射波DR使材料A从状态1卸载到状态2，而透射波DT则使材料B从未扰动状态0加载到状态2。根据前面的分析可知，材料A经由点1的负向等熵线与材料B的正向Hugoniot冲击曲线相交确定2点。

图3.17　冲击波从低阻抗材料入射到高阻抗材料的反射和透射

图3.18　冲击波从高阻抗材料入射到低阻抗材料的反射和透射

从理论分析可以看出：

（1）冲击波在不同材料中的传播，与弹性波的传播不同，如图3.17所示，当冲击波从低阻抗材料传播到高阻抗材料时，虽然应力升高，但质点速度下降。当反射波是膨胀卸载的稀疏波时，其状态由卸载等熵线确定，如图3.18所示，当冲击波从高阻抗材料传播到低阻抗材料时，虽然应力降低，但质点速度上升。

（2）对于弹性波，声阻抗是恒值，而对于冲击波的冲击阻抗，则随着压力而变化，大部分材料的冲击阻抗随着压力的增大而增大，甚至可能出现这种情况：某个临界压力之下，材料A的冲击阻抗大于材料B，而当压力大于临界压力后，材料A的冲击阻抗会小于材料B。

（3）两种材料的冲击声阻抗失配，会影响冲击波在两种材料中的压力和质点速度大小，但仅会使两种材料的压力和质点速度变化到相同的值，因此也就不会使两种材料发生分离。

2.拉伸波造成的分离

冲击波从材料A传入材料B，然后又从材料B经由自由表面进行反射。当冲击波传播到内层材料B的自由面时，如图3.19所示，可以看作冲击波从材料B传播到冲击阻抗为零的材料C中的特殊情况。图3.20和图3.21分别为冲击波在自由表面反射的p-u图和压力-距离图。图3.21中，Lb为冲击波的宽度。

图3.19　冲击波在自由表面的反射

图3.20　冲击波自由表面反射的p-u图

如图3.20所示，冲击波在自由表面反射，会发生应力为零而速度加倍的情况。如图3.21所示，t3时刻，材料B中，距离自由表面Lb/2出现了拉应力，因为材料A与材料B之间只能承受压应力而不能承受拉应力，将导致材料B与材料A发生分离。对于双层药型罩，爆轰产物产生的冲击波可以假设为三角形压力脉冲，其作用时间一般在20μs以上，在这个作用时间内，虽然内罩瞬间会因为拉伸波的作用而短暂离开外罩，但此后爆轰产物会继续作用于外罩，因此外罩会很快追上内罩并发生新的冲击波的传播。正如Nesterenko等人描述的那样，冲击波的衰减不能看作头波单独与界面之间相互作用的结果，这种相互作用完全由事件的规模决定，即取决于层状材料中各层的相对厚度以及它们与冲击波脉冲宽度的关系。实际上，直到爆轰波与药型罩作用的终了时刻，自由表面反射产生的卸载波才会对内罩和外罩的速度差产生细微的影响，但在整个作用过程当中，可以看作内、外罩是始终贴合在一起的。

图3.21　冲击波自由表面反射的压力-距离图

3.3.2.3　初始速度在压垮过程中变化的影响

除了压垮区域和压缩区域形成的厚度方向速度差外，因为材料体积是不可压缩的，势必引起微元在闭合过程中的内表面速度高于外表面速度，本节研究体积不可压缩导致的厚度方向速度差。

设微元i在闭合的锥面上任一时刻，长度d Li不变，内、外壁初始半径分别为Yi0和yi0，在压垮过程中的半径分别为Yi1和yi1，如图3.22所示。

图3.22　分析示意

由体积不变条件：

在微元的任一断面处均满足：

上式说明微元在闭合过程中内、外层速度不同，显然内层速度大于外层速度。

根据一些几何关系即可推导出［77］：

式中，rj为射流初始半径。

从上式可以看出，由体积不变引起的内、外层速度差与微元初始位置的内、外壁径向距离有关，当微元取得很小时，Yi0≈yi0，此时，因此初始速度在压垮过程中的变化对微元厚度方向速度差影响不大。