克莱因：哥廷根大学数学研究的中心人物

回顾世界科学史的发展，尤其是19世纪以来的现代科学之路，我们可以发现，如果一个国家拥有一批高水平的数学家，那么它也往往具有强大的科技实力。世界科学中心的变迁似乎可以看成是数学中心的转换，并且数学中心往往比科学中心形成得更早一些。数学对其他自然科学的发展具有明显的先导作用，数学为物理学、天文学、化学、生物学、地学、技术科学乃至人文科学提供了新的工具和方法。曾被认为没有实用价值的纯数学如拓扑学、代数几何学、算子代数及数论等都有了实际的应用，并对被应用的学科产生了巨大的推动作用，如黎曼几何之于相对论、希尔伯特空间之于量子力学、算子代数之于量子场论、群论之于原子结构、纤维丛理论之于规范场理论等。数学方法已成为与科学实验、科学理论和科学计算并列的第四个重要的科学方法。（路甬祥等，2001）125-126

高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）认为数学是“科学皇后”。由高斯开创，并由一大批后人铸就的德国数学帝国为德国成为世界科学中心做好了准备。诺贝尔物理学奖第一个获得者伦琴（Wilhelm Röntgen，1845—1923）在回答科学家需要什么样的修养时毫不犹豫地说：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”（邓东皋等，2001）

在高斯时代，当时世界数学中心并不是德国，而是它的邻居法国。继高斯之后，狄利克雷（Johann Dirichlet，1805—1859）成为哥廷根大学数学教授，他与黎曼开创了此后辉煌半个多世纪的哥廷根数学学派。（邓东皋等，2001）1886年，克莱因（Christian Feliu Klein，1849—1925）接受邀请来到哥廷根大学，直到1913年退休。他使哥廷根大学重新成为世界数学研究的重要中心。

克莱因在求学时期便成为数学家、物理学家普吕克（Julius Plücker，1801—1868）的助手，并逐渐对数学和物理学产生了兴趣。在普吕克的指导下，克莱因获得了博士学位。1869年初，克莱因来到哥廷根，协助克莱布什（Rudolf Clebsch，1833—1872）整理普吕克的遗著，他从克莱布什那里学到了不变式论以及光学，并完成了他的一篇重要论文，发现一阶和二阶线性复形与库默尔（Ernst Kummer，1810—1893）曲面有关。1871年克莱因发表论文《论所谓非欧几何学一》（Über diesogenannte nicht-euklidische Geometrie I），但受到哲学家及数学家的攻击，这促使他更深入研究几何学基础。

克莱因

在克莱布什的推荐下，克莱因于1872年来到埃尔兰根大学担任正教授。不久克莱布什病逝，他成了克莱布什学术研究的继承人。他把克莱布什的朋友及学生组织到自己周围，继续进行《数学年鉴》（Mathematische Annalen）的编辑工作，并编辑克莱布什的讲义。克莱因提出了一个影响深远的研究纲领，即《新近几何学研究的比较考察》（Vergleichende Betrachtangen über neuere geometrische Forschungen）。由于克莱因这个时期在埃尔兰根，因而这个纲领一般被称为埃尔兰根纲领。在埃尔兰根时期，克莱因的教课范围仍然是几何学，但与朋友及同事的交流大大扩大了他的眼界，他的研究工作也从几何学扩展到代数学、分析学。(www.zuozong.com)

1874年11月，克莱因被任命为慕尼黑工业大学教授。他在慕尼黑的研究工作先是代数方程，接着是椭圆模函数理论。他还研究黎曼的著作，并对拓扑学做出了贡献。1880年秋，他到莱比锡大学任几何学教授，次年创办莱比锡大学第一个数学讨论班。1881年夏天，他看到法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854—1912）在《法国科学院院报》（Comptes Rendus）上发表的三篇关于自守函数的论文，于是开始了同庞加莱的通信，两人也由此展开了一场讨论。

1886年春，克莱因就任哥廷根大学教授，他把更多精力放在教学工作、行政组织工作以及国际交流等方面，致力于将哥廷根大学建成世界一流的数学及物理学中心。1892年，克莱因对哥廷根大学的教育制度及教学计划进行重大改革，大大加强了应用数学的分量，陆续设立了应用数学的教授、副教授席位。

1890年，德国数学家联合会正式成立，克莱因是创始者之一，并于1897、1904、1908三次任大会主席。1893年，美国召开国际数学家大会，克莱因代表德国政府参加了这次会议。他在会上作了《当前数学的状况》的报告，还在会上宣读了十几篇德国数学家的论文。会后，他又专门为与会者作了12次报告。

1895年，他积极参与德国《数学科学百科全书》（Enzyklopdie der Mathematischen Wissenschaften）的筹划工作，并于1899年起任力学部分的主编。克莱因创立了哥廷根应用数学及物理学促进学会，这个协会创立的目的是在哥廷根大学建立更多应用数学机构，由工业界和大学以及私人赞助进行财政上的资助，由此逐渐产生了一系列的应用数学分支，首先是画法几何学，其次是保险数学。同年，克莱因提出了一个关于建立一个单独的数学研究所的规划，第二年该研究所开始工作。由于数学系的扩张，使得数学系的职位增多。1904年，克莱因又请来龙格（Carl Runge，1856—1927）担任应用数学教授，从此哥廷根大学形成了一个纯粹数学与应用数学协调发展的黄金时代。

希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）在这里发明或发展了不变量理论、公理化几何和希尔伯特空间等重要理论。他于1900年在巴黎国际数学家会议上提出23个数学问题，对20世纪的数学研究产生了持续性影响。闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维时空。外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据。诺特（Emmy Noether，1882—1935）为一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上推动了拓扑学的发展。冯·诺依曼（John von Neumann，1903—1957）发展了泛函分析，为量子力学提供了严格的数学基础。柯朗（Richard Courant，1888—1972）在应用数学的偏微分方程求解方面所做的工作，为空气动力学等一系列实际问题的突破扫清了障碍。除上述数学家外，当时还有一大批优秀的数学家在哥廷根大学学习工作。到1913年克莱因退休时，哥廷根大学已经毫无争议地成为世界数学中心。